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第一章 约束的研究 6

1.1 运动的多维空间描述 6

1.1.1 笛卡尔位形空间C 6

1.1.2 事件空间E 8

1.1.3 状态空间S 13

1.1.4 状态时间空间T 14

1.2 约束的某些数学性质 15

1.2.1 几何约束 15

1.2.2 Pfaff约束 17

1.2.3 Pfaff约束的可积性定理 17

1.2.4 可达性 28

1.2.5 不等式约束 33

1.3 虚变更 34

1.3.1 可能位移 34

1.3.2 虚位移 35

1.3.3 约束为完整时虚位移的含义 36

1.3.4 虚速度 38

1.3.5 状态的等时可能变更与虚变更 40

1.4 约束的可能变元及其微变空间 44

1.4.1 可能位形及其微变空间 44

1.4.2 可能速度及其微变空间 45

1.4.3 可能加速度及其微变空间 47

1.4.4 一阶约束的微变线性空间 49

1.4.5 高阶约束微变线性空间的一般理论 50

1.5 约束的力学性质 55

1.5.1 约束力 55

1.5.2 约束力的虚功 58

1.5.3 理想约束假定 63

1.5.4 约束力在微变空间上的作用 64

1.5.5 理想约束下的约束力，Lagrange乘子 64

1.5.6 非理想约束的约束力 67

1.5.7 第一类Lagrange方程 67

1.5.8 平衡问题 72

习题 78

2.1.1 完整约束组的区分 84

2.1 广义坐标 84

第二章 Lagrange力学 84

2.1.2 广义坐标 86

2.1.3 广义速度与广义加速度 91

2.1.4 其他约束 93

2.1.5 微变线性空间的变换 94

2.1.6 完整系统的虚位移，虚速度与等时变分 98

2.1.7 一些重要的数目，自由度 100

2.1.8 多余坐标 101

2.2 第二类Lagrange方程 104

2.2.1 动能 104

2.2.2 动力学基本方程与Lagrange基本方程 107

2.2.3 第二类Lagrange方程 110

2.2.4 广义力 112

2.3 第二类Lagrange方程的古典研究（Ⅰ） 114

2.3.1 第二类Lagrange方程的结构 114

2.3.2 有势系统的Jacobi积分与Whittaker定理 117

2.3.3 力学系统机械能变化规律，陀螺力与耗散力 127

2.3.4 分离变数与局部能量积分，Liouville系统 132

2.3.5 循环坐标与循环积分 137

2.4 第二类Lagrange方程的古典研究（Ⅱ） 142

2.4.1 Legendre变换与Routh方程 142

2.4.2 Routh函数的结构 147

2.5.1 转子陀螺仪的动力学方程及其古典解 155

2.5 陀螺动力学的某些问题 155

2.5.2 陀螺仪动力学的小偏角近似理论与进动简化理论 161

2.5.3 Cardan陀螺仪的动力学方程及其古典解 164

2.5.4 修正的近似方法——迭代解法 169

2.6 平衡的稳定性与运动的稳定性 172

2.6.1 平衡位置的稳定性 172

2.6.2 运动稳定性的一般概念 176

2.6.3 Ляпунов函数与Ляпунов关于稳定性的定理 180

2.6.4 刚体绕固定点转动及陀螺仪的运动稳定性问题 186

2.6.5 关于不稳定性的定理 196

2.6.6 线性系统的稳定性与按线性近似来决定稳定性 199

2.6.7 车辆行驶的运动稳定性 201

2.7 小振动理论 204

2.7.1 保守系统的小振动（在一般广义坐标下自由振动的分析） 205

2.7.2 主坐标描述下的自由振动与强迫振动 213

2.7.3 动力载荷对陀螺仪漂移的影响与等刚度设计原则 216

2.7.4 主频率的极值性质与分布界限 222

2.8 陀螺系统的一般理论 227

2.8.1 陀螺力与陀螺系统 227

2.8.2 陀螺仪系统 229

2.8.3 “随遇解”的稳定性与章动 233

2.8.4 进动简化方程的可用性 237

习题 241

3.1.1 典型非完整系统的例子 248

3.1 引论 248

第三章 非完整系动力学 248

3.1.2 乘子方程与Maggi方程 253

3.1.3 dδ运算与Lagrange-Volterra方程 256

3.1.4 非完整系统的能量关系式 262

3.2 Lagrange乘子方程 264

3.2.1 冰橇的简单问题 264

3.2.2 冰橇运动的Чаплыгин问题 266

3.2.3 滚盘问题 270

3.3 约束对动能的嵌入，Чаплыгин方程 274

3.3.1 Lindel？f错误 274

3.3.2 Ча？лыrин方程 276

3.3.3 例：斜冰面上的冰橇问题（Чаплыгин情形和简单情形） 279

3.3.4 Воронец方程 282

3.3.5 推广的Воронец方程 285

3.4 准速度与准坐标 287

3.4.1 准速度与准坐标的含义 287

3.4.2 准坐标的变分 290

3.4.3 函数对准速度与准坐标的导数 291

3.4.4 、准坐标的dδ交换公式 291

3.5 Hamel方程与Volterra方程 294

3.5.1 完整系的Hamel方程 295

3.5.2 非完整系的Hamel方程 299

3.5.3 Volterra方程 302

3.5.4 用dδ交换差公式建立动力学方程 305

3.6 Gibbs-Appell方程 308

3.6.1 Gibbs-Appell方程的建立 309

3.6.2 K？nig定理 313

3.6.3 刚体的Gibbs函数 314

3.6.4 滚盘问题 318

3.6.5 倾斜转台上的滚球 319

3.7.1 Kane方程及转移矩阵 320

3.6.6 球在固定曲面上的滚动 323

3.7 Kane方法 325

3.7.2 关于Kane方法的儿点说明 328

3.7.3 例 332

3.7.4 一阶非线性非完整系统的Kane方程 340

习题 343

第四章 力学的变分原理 345

4.1 分析动力学的普遍原理与Gauss原理 346

4.1.1 分析动力学的普遍原理 346

4.1.2 力学系统运动的拘束函数z 348

4.1.3 Gauss原理 350

4.1.4 由Gauss原理导出Jourdian原理及d Alembert-Lagrange原理 351

4.1.5 Gauss原理的完备性 351

4.2 关于广义的d Alembert-Lagrange原理 351

4.3 关于变分的某些说明 357

4.3.1 位形的虚变分，虚速度 357

4.3.2 广义坐标的自由等时变分与非自由等时变分 359

4.3.3 广义坐标的非等时虚变分 363

4.3.4 Voss变分 365

4.3.5 端点条件 366

4.3.6 函数与泛函的变分 367

4.4 Hamilton原理 370

4.4.1 Hamilton原理的一般形式 370

4.4.2 完整系统的Hamilton原理 373

4.4.3 非完整系的Hamilton原理 375

4.5 积分原理的某些推广形式 383

4.5.1 H？lder原理 383

4.5.2 Voss原理 385

4.6.1 Maupertuis-Lagrange原理的建立 387

4.6 Maupertuis-Lagrange最小作用量原理 387

4.6.2 Maupertuis-Lagrange原理的充分性 390

4.6.3 Maupertuis-Lagrange原理的几种表达形式 392

习题 398

第五章 Hamilton力学 401

5.1 Hamilton正则方程 401

5.1.1 Legendre变换与Hamilton正则方程 401

5.1.2 动力学函数的等时变分与Hamilton正则方程 406

5.2 Hamilton正则方程的第一积分与应用 411

5.2.1 一般概念与经典积分 411

5.2.2 Poisson方法 414

5.2.3 经典积分的应用——降阶法 420

5.2.4 Jacobi最后乘子的应用 422

5.3 Hamilton正则方程的解析性质 426

5.3.1 第一个正则性条件——广义Hamilton原理与Liven原理 426

5.3.2 第二个正则性条件——Pfaff型等价定理 429

5.3.3 第三个正则性条件——Poincaré积分不变量，Liouville定理 433

5.4 正则变换与接触变换 447

5.4.1 状态空间的变换，正则变换，接触变换 447

5.4.2 正则变换的判别条件 450

5.4.3 接触变换的显式，生成函数 454

5.4.4 接触变换举例 460

5.4.5 接触变换的相空间测度不变性 466

5.4.6 接触变换下双线性协变式的不变性 468

5.4.7 接触变换与Lagrange括号，Poisson括号 471

5.5 Hamilton主函数的研究 482

5.5.1 Hamilton主函数 483

5.5.2 主函数的微分表达式 485

5.5.3 主函数所应满足的微分方程 489

5.5.4 主函数能完全决定系统的运动 490

5.5.5 相空间的Hamilton动力学变换是一个接触变换群 491

5.6 Hamilton-Jacobi方法 493

5.6.1 化零接触变换 493

5.6.2 Hamilton-Jacobi定理 496

5.6.3 守恒系统 499

5.6.4 两自由度的可分离变量系统 502

5.6.5 n个自由度的可分离变量系统 512

5.6.6 摄动理论 519

5.7 天体力学引论 521

5.7.1 二体问题的Hamilton-Jacobi解 521

5.7.2 正则常数与轨道根数 526

5.7.3 天体力学的一般问题 529

5.7.4 行星运动的摄动方程 533

5.7.5 正则常数摄动方程与轨道根数摄动方程 537

习题 540

参考文献 548

索引 552