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第一章 矢量分析 1

1．1 引言 1

1．1．1 术语的定义 1

1．1．2 基本概念与记号 2

1．1．3 不用坐标系的矢量加法 2

1．2 基矢量的笛卡儿坐标系 4

1．2．1 标准正交基 4

1．2．2 位置矢量(矢径) 4

1．2．3 矢量的正交分解 5

1．2．4 方向余弦 6

1．2．5 用坐标系的矢量代数 7

1．3 矢量函数的微分 12

1．3．1 矢量的导数 12

1．3．2 梯度的概念 15

1．4 矢量函数的积分 19

1．4．1 线积分 19

1．4．2 高斯散度定理 22

1．4．3 格林定理 26

1．4．4 斯托克斯旋度定理 28

1．4．5 两个有用的积分关系式 30

1．5 常用的矢量关系式 33

1．5．1 含▽算子的关系式 33

1．5．2 其他矢量关系式 33

1．5．3 某些重要的物理方程 34

1．6 广义坐标系 35

1．6．1 广义曲线坐标系 35

1．6．2 正交曲线坐标系 37

1．6．3 正交曲线坐标系中的梯度 38

1．6．4 正交曲线坐标系中的散度和旋度 38

1．6．5 正交曲线坐标系中的拉普拉斯算子 39

1．6．6 平面极坐标系(γ，θ) 40

1．6．7 右手圆柱坐标系(ρ，ф，z) 40

1．6．8 球极坐标系(γ，θ，ф) 41

1．7 习题 43

第二章 算子与矩阵分析 48

2．1 引言 48

2．2 矢量空间初步 48

2．2．1 矢量空间的定义 48

2．2．2 线性相关 49

2．2．3 矢量空间的维数 50

2．2．4 内积 50

2．2．5 希尔伯特空间 51

2．2．6 线性算子 51

2．3 矩阵分析和记号 53

2．4 矩阵运算 54

2．4．1 加法(减法) 54

2．4．2 乘法 54

2．4．3 除法 56

2．4．4 矩阵的导数 57

2．4．5 矩阵的积分 57

2．4．6 分块矩阵 57

2．5 任意矩阵的性质 58

2．5．1 转置矩阵 58

2．5．2 复共轭矩阵 58

2．5．3 埃尔米特共轭矩阵 58

2．6 特殊方阵 59

2．6．1 单位矩阵 59

2．6．2 对角矩阵 59

2．6．3 降秩矩阵 60

2．6．4 余因子矩阵 60

2．6．5 伴随矩阵 60

2．6．6 自伴矩阵 61

2．6．7 对称矩阵 61

2．6．8 反对称矩阵 61

2．6．9 埃尔米特矩阵 62

2．6．10 酉矩阵 62

2．6．11 正交矩阵 62

2．6．12 矩阵的迹 63

2．6．13 逆矩阵 63

2．7 线性方程组的解 64

2．8 本征值问题 65

2．9 坐标变换 68

2．9．1 二维旋转 68

2．9．2 三维旋转 69

2．10 习题 71

附录：行列式初步 75

第三章 复变函数 81

3．1 引言 81

3．2 复变数与表示 81

3．2．1 代数运算 82

3．2．2 阿根图：矢量表示 83

3．2．3 复共轭 84

3．2．4 欧拉公式 87

3．2．5 棣美弗定理 88

3．2．6 复数的n次方根或n次幂 88

3．3 复变解析函数 90

3．3．1 f(z)的导数和解析性 90

3．3．2 调和函数 92

3．3．3 围道积分 93

3．3．4 柯西积分定理 94

3．3．5 柯西积分公式 96

3．3．6 积分号下求导 97

3．4 级数展开式 98

3．4．1 泰勒展开式 98

3．4．2 罗朗展开式 101

3．5 习题 108

附录：级数初步 110

第四章 留数计算 114

4．1 零点 114

4．2 孤立奇点 115

4．3 留数计算 117

4．3．1 m阶极点 117

4．3．2 单极点 119

4．4 柯西留数定理 124

4．5 柯西主值 125

4．6 定积分计算 127

4．6．1 型积分 127

4．6．2 型积分 128

4．6．3 关于约当引理的附带说明 130

4．6．4 型积分 131

4．7 色散关系式 133

4．8 几何表示 135

4．8．1 引言 135

4．8．2 保角变换(映射) 136

4．9 习题 140

第五章 微分方程 144

5．1 引言 144

5．2 常微分方程 144

5．2．1 一阶变系数齐次和非齐次方程 145

5．2．2 叠加原理 152

5．2．3 二阶常系数齐次方程 153

5．2．4 二阶常系数非齐次方程 157

5．2．5 二阶变系数非齐次方程 159

5．2．6 二阶变系数齐次方程 162

5．3 偏微分方程 167

5．3．1 引言 167

5．3．2 物理学中某些重要的偏微分方程 168

5．3．3 直接积分法举例 170

5．3．4 分离变量法 172

5．4 习题 173

第六章 数学物理中的特殊函数 184

6．1 引言 184

6．2 埃尔米特多项式 184

6．2．1 力学中的基本运动方程 184

6．2．2 一维线性谐振子 185

6．2．3 埃尔米特微分方程的解 187

6．3 勒让德多项式和缔合勒让德多项式 193

6．3．1 球谐函数 193

6．3．2 方位角方程 195

6．3．3 勒让德多项式 196

6．4 有心力问题 205

6．4．1 引言 205

6．4．2 拉盖尔多项式 205

6．4．3 两个可以化为拉盖尔方程的方程 208

6．5 贝塞耳函数 210

6．5．1 引言 210

6．5．2 贝塞耳方程的解 212

6．5．3 贝塞耳方程的各种解的分析 217

6．5．4 诺伊曼函数 218

6．5．5 汉克尔函数 218

6．5．6 修正贝塞耳函数 219

6．5．7 球贝塞耳函数 219

6．5．8 各种贝塞耳函数的特征 220

6．5．9 某些其它的特殊函数 225

6．6 习题 227

附录：Pl(W)与Pml(W)之间的关系 230

第七章 傅里叶级数 234

7．1 引言 234

7．1．1 傅里叶余弦与正弦级数 235

7．1．2 区间的变更 236

7．1．3 傅里叶积分 237

7．1．4 傅里叶级数的复数形式 237

7．2 广义傅里叶级数与狄拉克δ函数 245

7．3 傅里叶级数的和 248

7．4 吉布斯现象 250

7．5 傅里叶级数的若干性质摘要 253

7．6 习题 253

第八章 傅里叶变换 258

8．1 引言 258

8．2 傅里叶变换理论 258

8．2．1 复傅里叶变换的形式推导 258

8．2．2 余弦变换与正弦变换 260

8．2．3 多维傅里叶变换 262

8．2．4 导数的变换 262

8．2．5 卷积定理 265

8．2．6 巴塞瓦关系式 267

8．3 量子力学中的波包 278

8．3．1 问题的由来：能量的量子化 278

8．3．2 新量子论的发展 279

8．3．3 粒子的波动方程：波包 280

8．4 习题 286

第九章 张量分析 289

9．1 引言 289

9．1．1 记号 289

9．1．2 张量的秩与其分量数目 290

9．2 线性空间中的坐标变换 290

9．3 逆变与协变张量 292

9．3．1 一秩张量(矢量) 292

9．3．2 高秩张量 293

9．3．3 对称与反对称张量 294

9．3．4 极矢量与轴矢量 294

9．4 张量代数 295

9．4．1 加法(减法) 295

9．4．2 乘法(外积) 295

9．4．3 并缩 296

9．4．4 内积 296

9．4．5 商定则 296

9．5 线元 298

9．5．1 基本度规张量 298

9．5．2 相伴张量 299

9．6 张量微积分 300

9．6．1 克里斯托弗尔符号 301

9．6．2 张量的协变微分 302

9．6．3 测地线方程 307

9．6．4 黎曼-克里斯托弗尔张量 310

9．7 习题 312

附录A：克里斯托弗尔符号的变换法则 314

附录B：变分法初步 316