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第一章 预备知识 1

1 特征值与特征向量 1

习题 3

2 初等矩阵 4

2.1 初等矩阵的一般形式 4

2.2 初等下三角阵 7

2.3 初等Hermite阵 8

习题 10

3 矩阵分解 11

习题 21

4 值域 21

习题 25

5 Kronecker乘积 25

5.1 基本概念 25

5.2 应用举例：线性矩阵方程 26

6.1 基本概念 28

6 广义逆 28

习题 28

6.2 基本性质 31

习题 34

7 投影 34

7.1 幂等阵与投影 35

7.2 正交投影 38

7.3 AA+与A+A的几何意义 40

7.4 应用举例：线性最小二乘问题 42

习题 43

8 行列式 44

8.1 Blnet-Cauchy公式 44

8.2 Hadamard不等式 46

习题 50

第一章说明 51

第二章 范数与度量 52

1 Cn上的范数 52

习题 57

2.1 基本概念 58

2 Cm×n上的范数 58

2.2 算子范数 61

习题 69

3 Cm×n上的酉不变范数 70

3.1 定义 70

3.2 von Neumann不等式 72

3.3 SG函数 75

3.4 酉不变范数的性质 83

习题 86

4 G？上的度量 88

4.1 基本概念 88

4.2 关于‖sinΘ(Z，W)‖2 90

4.3 关于‖sinΘ(Z，W)‖ 95

4.4 其它的度量 97

习题 103

第二章说明 104

1 特征值问题的稳定性 105

1.1 特征值的连续性 105

第三章 特征值问题扰动分析 105

1.2 扰动性质的数学描述 110

习题 113

2 Gerschgorin理论 113

2.1 Gerschgorin定理 113

2.2 应用举例 116

习题 119

3 Hermite阵的特征值 120

3.1 极小极大定理 120

3.2 极小极大定理的一般形式 124

3.3 Hermite扰动 131

3.4 关于奇异值的扰动 134

习题 136

4 正规阵与可正规化阵的特征值 138

4.1 正规阵与可正规化阵 138

4.2 Hoffman-Wielandt定理 139

4.3 Bauer-Fike定理 145

4.4 Hermite阵的任意扰动 146

习题 151

5.1 推广的Bauer-Fike定理 152

5 一般方阵的特征值 152

5.2 Henrici定理 154

5.3 正规性偏离度的估计 159

5.4 Henrici定理(续) 164

5.5 举例 171

习题 173

6 条件数 173

6.1 特征值问题病态程度的数据标准 173

6.2 几种条件数之间的关系 178

习题 184

7 特征空间的扰动界限 185

7.1 Rayleigh商和剩余 185

7.2 Davis-Kahan sinθ定理 192

7.3 与近似特征空间有关的其它估计 198

习题 204

8 不变子空间的扰动界限 205

8.1 不变子空间 205

8.2 一个非线性方程及其解的估计 210

8.3 剩余与矩阵分离度 215

8.4 扰动定理 222

习题 224

第三章说明 225

第四章 广义特征值问题扰动分析 227

1 基本概念 227

1.1 正则对与奇异对 228

1.2 特征值与特征向量 230

1.3 广义特征值问题的稳定性 235

1.4 几类重要的正则对 243

习题 246

2 Gerschgorin理论 247

2.1 Gerschgorin型定理 247

2.2 应用举例 251

习题 255

3 定型对的特征值 255

3.1 Crawford数c(A,B)的性质 255

3.2 D(n)上的一种投影度量 257

3.3 Weyl-Лидский型定理 260

3.4 关于广义奇异值的扰动 266

习题 271

4 正规对、可对角化对与一般正则对的特征值 272

4.1 Hoffman-Wielandt型定理 273

4.1 Bauer-Fike型定理 278

4.2 Henrici型定理 281

4.4 d2(Z,W)与dF(Z,W)的估计 285

习题 287

5.1 特征空间 288

5 特征空间的扰动界限 288

5.2 sinθ第一定理 290

5.3 sinθ第二定理 300

习题 303

6 广义不变子空间的扰动界限 304

6.1 广义不变子空间 304

6.2 算子T(P，Q)和函数dif 306

6.3 逼近定理与扰动定理 313

习题 316

第四章说明 317

第五章 广义逆与最小二乘问题扰动分析 319

1 矩阵逆与线性方程组解的扰动 319

1.1 矩阵逆的扰动界限 321

1.2 线性方程组解的扰动界限 323

习题 325

2 广义逆扰动分析 325

2.1 关于一对投影 325

2.2 锐角扰动 333

2.3 广义逆的扰动界限 336

习题 348

3 投影的扰动 348

3.1 关于投影的连续性 348

3.2 投影的扰动界限 350

习题 355

4 线性最小二乘问题扰动分析 355

习题 361

第五章说明 361

参考文献 363