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第一章 基本概念 1

1.1. 流形 1

1. 集合论中几个常用的记号 1

2. 数空间 2

3. 拓扑空间的定义及其一些有关的概念 2

4. 函数.连续性.同胚 5

5. 度量空间的完备化 7

6. 微分流形 8

7. 微分映射 14

1.2. 切空间及余切空间，向量 14

1. 切向量.切空间 14

2. 余切空间 18

1.3. 群的一些基本概念 20

1. 抽象群 20

2. 变换.变换群 20

3. 李群.连续变换群 23

1.4. 外代数 24

1. p-向量空间 24

2. 外代数 27

1.5. 外导数 30

1. 微分形式 30

2. 外导数 31

3. Stokes公式 34

4. Frobenius定理 37

1. 矩阵序列的收敛性 46

1.6. 矩阵分析 46

2. 矩阵级数 48

3. 指数矩阵函数和三角矩阵函数 49

4. 矩阵函数 49

5. Cartan矩阵与微分几何中的基本定理 53

第二章 欧氏微分几何 56

2.1. 平面曲线的欧氏微分几何 56

1. 曲线的参数表示 57

2. 活动标架 57

3. 平面曲线论的基本定理 60

4. 两条平面曲线的接触 63

5. 平面曲线的渐屈线与渐开线 69

6. 包络线 72

7. 螺旋弧 74

8. 四顶点定量 76

9. 等周问题 80

2.2. 空间曲线的欧氏微分几何 85

1. 曲线的参数表示 85

2. 活动标架 86

3. 曲率与挠率 91

4. 标准展开式.曲线在每个正常点邻近的结构 94

5. 曲率球面.密切球面 96

6. m维空间Em中的曲线 98

2.3. 曲面的欧氏微分几何 100

1. 曲面的参数表示 100

2. 曲面的切面与法线.活动标架.基本形式与曲率 101

3. 绝对微分与Levi-Civita平行移动.测地线 115

4. Gauss-Honnet公式 117

5. 曲面在每点邻近的形状 121

6. n维空间En中的超曲面Mn-1 123

7. 杂例 127

8. 积分理论.曲面论的基本定理 138

9. 曲面的等距映射 148

2.4. 直纹面与直线汇 154

1. 直纹面 154

2. 可展面 162

3. 直线汇 166

3.1. 平面曲线的仿射微分几何 170

1. 活动标架 170

第三章 仿射微分几何 170

2. 几何解释. 二次曲线 174

3. 六切点 177

3.2. 空间曲线的仿射微分几何 179

1. 活动标架 180

2. 定值仿射曲率的曲线 185

3. m维仿射空间中的曲线 186

3.3. 曲面的仿射微分几何 188

1. Frenet公式 188

2. 曲面的基本形式 195

3. 导出方程 197

4. 特殊曲面 198

5. 密切二次曲面.Darboux切线 208

6. Lie的二次曲面 210

7. 曲面上的曲线 213

第四章 射影微分几何 219

4.1. 平面曲线的射影微分几何 219

1. 平面曲线的解析基础.射影协变元素和不变式的几何意义 220

2. 两条平面曲线的接触不变式 229

3. 平面曲线的奇点 232

4. 平面曲线对 236

4.2. 空间曲线的射影微分几何 244

1. 三维空间曲线的射影理论 245

2. 两条空间曲线的接触不变式 256

3. 具有不同切线的两条相交空间曲线的不变式 257

4. 两条准线 262

5. 四维空间曲线的射影理论 263

6. n维空间曲线的射影理论 267

4.3. 曲面的射影微分几何 271

1. 射影曲面论的基础 272

2. 一切渐近曲线属于线性丛的曲面(简称？曲面) 317

3. 高维空间中的共轭网 319

4. Gartan规范标架 321

5. Godeaux二次曲面序列 323

附录：问题与定量 326

一、欧氏微分几何 326

二、仿射微分几何 331

三、射影微分几何 336

参考文献 340