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第一章 误差 1

1 误差的来源 1

2 绝对误差、相对误差与有效数字 3

2.1 绝对误差与绝对误差限 3

2.2 相对误差与相对误差限 4

2.3 有效数字 5

2.4 有效数字与相对误差间的联系 6

3 估计误差的一个基本方法 8

4 数值计算中必须注意的几个问题 10

习题一 13

第二章 多项式插值 14

1 引言 14

1.1 本章要解决的问题 14

1.2 多项式插值问题的基本提法 14

1.3 插值多项式的存在唯一性 15

2 插值多项式的求法 16

2.1 基本插值多项式 16

2.2 拉格朗日插值多项式 17

3 差分与用差分表示的插值多项式 20

3.1 差分 20

3.2 前插公式与后插公式 23

3.3 均差与牛顿基本插值多项式 27

4 插值多项式的余项 31

5 埃尔米特插值 34

5.1 本节要解决的问题 34

5.2 埃尔米特插值多项式H2n+1(x)的求法 35

6 三次样条插值 39

6.1 三次样条插值问题的提法 41

6.2 边界条件问题的提出与常见类型 42

6.3 三次样条插值函数的求法 43

小结 55

习题二 55

第三章 数值微分与数值积分 58

1 引言 58

2 数值微分 59

2.1 利用插值多项式求数值导数 59

2.2 利用三次样条插值函数求数值导数 63

3 数值积分初步 64

3.1 构造数值求积公式的方法 65

3.2 等距节点下的插值型求积公式 65

3.3 误差分析 69

3.4 求积公式的代数精度 73

3.5 牛顿--柯特斯公式的稳定性和收敛性简析 75

4 复合求积 76

4.1 复合求积公式 76

4.2 误差分析 78

4.3 步长的自动选择 81

5 龙贝格算法 83

5.1 梯形法的逐次分半算法 83

5.2 龙贝格算法 86

6 高斯型求积公式 90

6.1 正交多项式 91

6.2 高斯点与正交多项式的联系 96

6.3 高斯型求积公式的构造 97

6.4 高斯型求积公式的余项 99

6.5 稳定性与收敛性 101

6.6 一般高斯型求积公式及其构造 102

7 广义积分的计算 105

7.1 无穷区间上的广义积分 105

7.2 无界函数的广义积分 107

小结 109

习题三 110

第四章 曲线拟合与函数逼近 113

1 引言 113

2 曲线拟合的最小二乘法 114

2.1 什么是最小二乘法 114

2.2 最小二乘解的求法 116

2.3 切比雪夫多项式在求最小二乘解中的应用 126

3 连续函数的多项式逼近 132

3.1 问题的提法 132

3.2 最佳一致逼近多项式及其求法 134

3.3 最佳平方逼近多项式及其求法 143

4 快速富氏变换 148

4.1 三角函数插值 149

4.2 离散富氏变换及其逆变换 152

4.3 快速富氏变换(FFT) 153

4.4 实序列的FFT算法 159

小结 163

习题四 163

第五章 非线性方程求根 166

1 引言 166

2 二分法 168

3 迭代法 170

4 牛顿--雷扶生方法 179

4.1 牛顿公式 179

4.2 牛顿法局部收敛性 180

4.3 牛顿下山法 187

5 迭代法的收敛阶和加速收敛方法 190

5.1 迭代法的收敛阶 190

5.2 埃特金加速方法(△2-方法) 194

6 解非线性方程的插值方法 198

6.1 正割法 198

6.2 抛物线法 200

小结 203

习题五 203

第六章 解线性方程组的直接法 206

1 引言 206

2 高斯消去法 207

2.1 高斯消去法 208

2.2 高斯消去法的计算量 213

2.3 高斯--若当消去法 214

3 高斯主元素消去法 216

3.1 完全主元素消去法 217

3.2 列主元素消去法 219

3.3 标度化列主元素消去法 221

3.4 用高斯--若当消去法(列主元素)求逆矩阵 224

4 用直接三角分解法解方程组 228

5 解对称正定矩阵方程组的平方根法 235

5.1 对称正定矩阵及其性质 236

5.2 平方根法 237

5.3 改进的平方根法 240

5.4 用改进的平方根法解大型带状矩阵方程组 244

6 解三对角线方程组的追赶法 245

小结 248

习题六 249

第七章 解方程组的迭代法 252

1 引言 252

2 向量和矩阵的范数 252

3 解线性方程组的雅可比迭代法与高斯--塞德尔迭代法 261

3.1 迭代法一般概念 261

3.2 雅可比迭代法 264

3.3 高斯--塞德尔迭代法 266

4 迭代法的收敛性 268

5 解线性方程组的超松弛迭代法 273

6 误差估计和迭代改善方法 280

6.1 矩阵的条件数 病态方程组 280

6.2 迭代改善方法 286

7 解非线性方程组的迭代法 288

7.1 解非线性方程组的一般迭代法 289

7.2 解非线性方程组的牛顿法 295

小结 300

习题七 300

第八章 矩阵的特征值与特征向量的计算方法 304

1 引言 304

2 幂法及反幂法 308

2.1 幂法 308

2.2 加速方法 314

2.3 反幂法 317

3 计算对称矩阵特征值的雅可比方法 322

3.1 引言 322

3.2 古典的雅可比方法 326

3.3 雅可比过关法 330

小结 331

习题八 331

第九章 常微分方程初值问题的数值解法 333

1 引言 333

2 尤拉方法 336

2.1 尤拉方法的导出 336

2.2 尤拉方法的精度分析 339

2.3 泰勒方法 341

2.4 改进的尤拉方法 344

3 龙格--库塔方法 350

3.1 龙格--库塔方法的导出 351

3.2 高阶龙格--库塔方法 353

3.3 步长的自动选择 358

4 线性多步方法 360

4.1 阿达姆斯显式与隐式线性多步方法 362

4.2 阿达姆预估--校正方法 367

5 一阶方程组与高阶方程的数值解法 372

6 稳定性概念 376

6.1 稳定性定义 376

6.2 绝对稳定性与条件稳定性 379

小结 385

习题九 385

第十章 常微分方程边值问题的数值解法 389

1 打靶法 389

2 有限差分法 392

2.1 差分方程的建立 392

2.2 其他边值条件的讨论 394

2.3 非线性方程边值问题的差分方法 395

3 有限元方法 397

3.1 变分原理 397

3.2 里兹过程 399

3.3 基函数的选取 401

3.4 有限元方法的计算步骤 404

小结 407

习题十 407

第十一章 偏微分方程的数值解法 409

1 基本概念及解抛物型方程的差分格式 410

1.1 古典显格式 410

1.2 古典隐格式 416

1.3 收敛性、稳定性的概念 416

1.4 李查逊格式及六点对称格式 420

2 稳定性与收敛性的讨论及判稳方法 422

2.1 稳定性定义 422

2.2 判别稳定性的代数方法 423

2.3 判别稳定性的冯·诺依曼方法(分离变量法) 426

3 双曲型方程的差分格式 429

3.1 双曲型方程解的一些特性 429

3.2 一阶线性双曲型方程的差分格式 431

3.3 变系数一阶方程的差分格式 434

3.4 二阶线性双曲型方程的差分格式 437

4 解椭圆型方程边值问题的差分格式 440

4.1 差分格式的建立 440

4.2 实例分析 443

5 解椭圆型方程边值问题的有限元法 445

5.1 变分原理 445

5.2 单元剖分及基函数的选取 449

5.3 有限元方程的形成 453

5.4 实例分析 459

小结 465

习题十一 465

附录 468