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前言 1

第一章 预备知识 1

1.1 Hilbert空间和Banach空间初步 1

1.1.1 基本概念 1

1.1.2 投影定理 5

1.1.3 Riesz表现定理 7

1.1.4 线性算子 9

1.2 Sobolev空间简介 12

1.2.1 广义导数 12

1.2.2 Sobolev空间 19

1.2.3 嵌入定理 20

1.3 紧算子与特征展开 26

1.3.1 标准正交系 26

1.3.2 紧算子与投影算子 30

1.3.3 自共轭紧算子 34

1.4 快速Fourier变换(FFT) 37

1.5 几个常用的不等式 44

1.5.1 Gronwall不等式(连续形式) 44

1.5.2 Gronwall不等式(离散形式) 45

1.5.3 Hardy型不等式 46

参考文献 47

第二章 谱方法和正交多项式 48

2.1 谱方法的某些例子 50

2.1.1 一阶波动方程的Fourier谱方法 50

2.1.2 Poisson方程的Legendre Tau方法 52

2.1.3 热传导方程的Chebyshev配点法 55

2.2 正交多项式 57

2.2.1 Fourier系统--连续Fourier展开 58

2.2.2 Fourier系统--离散Fourier展开 61

2.2.3 微分 65

2.3 Sturm-Liouville问题 68

2.3.1 正则的Sturm-Liouville问题 69

2.3.2 奇异的Sturm-Liouville问题 72

2.4 其它正交多项式系统 74

2.4.1 Gauss型求积公式和离散多项式变换 74

2.4.2 (-1，1)上的正交多项式 78

2.4.3 无界区间情形 90

参考文献 91

第三章 投影算子和插值算子的逼近 94

3.1 Fourier逼近 94

3.2 Chebyshev逼近 102

3.3 Legendre逼近 122

3.4 其它正交多项式逼近 132

3.5 多维情形 134

3.5.1 Fourier逼近 134

3.5.2 Chebyshev逼近 135

3.5.3 Legendre逼近 138

3.6 Fourier逼近和Chebyshev逼近的联合 140

3.7 带Chebyshev权的Sobolev嵌入定理 149

参考文献 151

4.1.1 Lax-Milgram定理和Babus?ka定理 153

第四章 谱方法的稳定性和收敛性理论 153

4.1 Lax-Milgram定理和Lax-Richtmyer等价性定理 153

4.1.2 Lax-Richtmyer等价性定理 156

4.2 线性定常问题谱逼近的一般框架 160

4.2.1 Galerkin方法 161

4.2.2 Tau方法 166

4.2.3 配点法(拟谱方法) 174

4.3 线性发展方程谱逼近的一般框架 181

4.3.1 稳定性和收敛性条件：抛物情形 182

4.3.2 稳定性和收敛性条件：双曲情形 195

参考文献 207

第五章 某些线性和非线性方程的谱方法 209

5.1 二维涡度方程的Fourier谱方法 209

5.2 KdV方程的Fourier拟谱方法 218

5.3 二维抛物型方程的Chebyshev拟谱方法 222

5.3.1 半离散Chebyshev拟谱方法 224

5.3.2 全离散Chebyshev拟谱方法 231

5.4 广义BBM方程的Chebyshev拟谱方法 236

5.5 变系数二阶椭圆方程Dirichlet问题的Chebyshev拟谱方法 250

5.6 定常Burgers方程的Chebyshev谱方法 264

参考文献 276

第六章 谱方法的某些新进展 278

6.1 用Gegenbauer多项式恢复指数精度 278

6.1.1 Gegenbaure多项式及其主要性质 279

6.1.2 截断误差 280

6.1.3 正则性误差 283

6.2 区域分解法 287

6.3 非线性Galerkin谱方法 293

6.4 具弱阻尼的非线性Schr?dinger方程的大时间误差估计 303

6.5 时空方向的谱逼近 311

参考文献 326