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上篇 1

第一章 函数 1

1. 函数的概念 1

2. 基本初等函数及其图形 7

补充题 17

第二章 极限 19

1. 极限方法是辩证法在数学方面的应用 19

2. 数列的极限 21

3. 函数的极限 44

补充题 66

第三章 连续函数 74

1. 函数的连续性 74

2. 连续函数的性质 79

补充题 89

第四章 微分学 93

1. 导数概念 93

2. 微分法 102

3. 高阶导数 116

4. 微分 121

5. 微分学的基本公式 130

补充题 138

第五章 微分学的应用 143

1. 曲线的切线与法线方程 143

2. 函数图形的讨论 146

3. 待定式 159

4. 曲率 167

补充题 173

第六章 积分学 176

1. 定积分概念 176

2. 牛顿-莱布尼兹公式 193

3. 不定积分 197

4. 定积分的计算 216

5. 定积分的近似计算法 223

补充题 229

第七章 积分学的应用 234

1. 在几何学中的应用 234

2. 在物理学中的应用 245

补充题 256

Ⅱ 微积分中常用的初等数学公式 258

附录一 258

Ⅰ 希腊字母 258

附录二 几个常用的不定积分公式 259

附录三 绝对值和不等式 263

附录四 264

Ⅰ 实数理论简介 264

Ⅱ 上极限与下极限 266

Ⅲ 有限复盖定理 271

习题答案和提示 274

1. 常数项级数 297

1·1 级数的定义和性质 297

下篇 297

第八章 级数 297

1·2 正项级数 300

1·3 任意项级数 307

2. 函数项级数 307

2·1 一致收敛 314

2·2 函数项级数和的函数性质 321

2·3 函数序列的极限的函数性质 324

3. 幂级数 325

3·1 收敛区间 326

3·2 逐项积分和微分 328

3·3 泰勒级数、马克劳林级数 331

补充题 339

第九章 多元函数的微分学 348

1. 多元函数的极限与连续 348

1·1 多元函数概念 348

1·2 二元函数的极限 350

1·3 二元连续函数 356

2. 偏导数 360

3. 全微分 363

4. 复合函数的偏导数 368

5. 高阶偏导数与高阶全微分 372

5·1 高阶偏导数 372

5·2 高阶全微分 376

6. 泰勒公式 378

补充题 382

1·1 一个方程的情形 386

1. 隐函数存在定理 386

第十章 多元函数微分学的应用 386

1·2 方程组的情形 389

1·3 隐函数的微分法 395

2. 偏导数在几何上的应用 401

2·1 空间曲线的切线方程和法平面方程 401

2·2 空间曲面的切平面方程和法线方程 403

3. 多元函数的极值 406

3·1 取极值的必要条件 406

3·2 取极值的充分条件 408

3·3 生产实际中的最大最小问题 410

4. 条件极值 412

补充题 418

第十一章 广义积分 421

1. 无穷积分 421

1·1 无穷积分概念 421

1·2 无穷积分的收敛性判别法 424

2. 瑕积分 431

2·1 瑕积分概念 431

2·2 瑕积分的收敛判别法 433

补充题 436

第十二章 含参变量的积分 439

1. 含参变量的定积分 439

1·1 积分限是常数的情形 439

1·2 积分限是函数的情形 442

2. 含参变量的广义积分 445

2·1 一致收敛 445

2·2 含参变量广义积分的性质 449

3·1 B--函数 454

3. B--函数与Γ--函数 454

3·2 Γ--函数 455

3·3 B--函数与Γ--函数的关系 456

补充题 458

第十三章 重积分 461

1. 二重积分概念 461

1·1 二重积分的定义 461

1·2 可积的充要条件与二重积分的性质 464

2. 二重积分的计算 467

2·1 化二重积分为累次积分 467

2·2 二重积分的变量代换 474

3. 二重积分的应用 482

3·1 曲面面积 482

3·2 重心 486

3·3 转动惯量 489

4. 三重积分 491

4·1 三重积分的定义 491

4·2 三重积分的计算和应用 493

5·1 n维欧氏空间 503

5. n重积分 503

5·2 n重积分的定义及计算 504

补充题 508

第十四章 线积分与面积分 511

1. 线积分 511

1·1 对弧长的线积分 511

1·2 对坐标的线积分 515

2. 线积分与路径无关的条件、格林公式 521

3. 面积分 528

3·1 对面积的面积分 528

3·2 对坐标的面积分 531

4. 高斯公式与斯托克斯公式 537

补充题 541

第十五章 场论 546

1. 等量面、方向导数、梯度 546

2. 流量(通量)、散度 552

3. 环量、旋度 560

4. 拉普拉斯算符在球坐标系和柱坐标系中的表达式 567

补充题 570

1·1 三角级数与周期函数 572

1. 傅立叶级数 572

第十六章 傅立叶级数 572

1·2 以2π为周期的函数展为三角级数 574

1·3 以2ι为周期的函数展为三角级数 583

2. 傅立叶积分 587

2·1 函数用傅立叶积分表示 587

2·2 傅立叶变换 592

补充题 595

附录 幂级数的收敛半径公式 598

习题答案和提示 599