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第一部分 复变函数论及其应用 1

第一章 复数的基本概念 1

1.1 复数及其运算规则 1

1.2 复数的几何表示 2

1.3 复数序列·极限的概念 5

1.4 无穷远点 6

第二章 解析函数 8

2.1 复变函数·区域的概念·极限·连续和一致连续 8

2.2 导数 10

2.3 解析函数·科希-里曼(Cauchy-Riemann)条件 12

2.4 解析函数与调和函数的关系 14

3.2 指数函数 17

3.1 幂函数 17

第三章 初等函数 17

3.3 三角函数和双曲线函数 18

3.4 多值函数·根式？ 19

3.5 对数函数 26

3.6 多值函数w=arc sinz 28

3.7 函数zs(s为任意复数) 30

第四章 复数积分·科希定理和科希积分公式 32

4.1 复数积分 32

4.2 复数积分的几个重要性质 32

4.3 科希(Cauchy)定理 34

4.4 不定积分·原函数 39

4.5 科希积分公式 41

4.6 科希积分公式的几个重要推论 44

4.7 解析函数的实部和虚部的关系 47

4.8 科希型积分 50

第五章 无穷级数 51

5.1 复数级数 51

5.2 函数级数·外氏(Weierstrass)定理 55

5.3 幂级数·阿贝耳(Abel)第一定理 59

5.4 幂级数所代表的函数的解析性 64

5.5 阿贝耳第二定理 66

第六章 泰勒展开和洛浪展开 69

6.1 解析函数的泰勒(Taylor)展开 69

6.2 多值函数的泰勒展开 75

6.3 在无穷远点邻域内的泰勒展开 76

6.4 洛浪(Laurent)展开 77

6.5 洛浪展开的例子 82

6.6 伯努利(Bernoulli)数和欧勒(Euler)数 84

第七章 单值函数的孤立奇点 88

7.1 孤立奇点的分类 88

7.2 可去奇点 89

7.3 极点 90

7.4 本性奇点 92

7.5 无穷远点 93

第八章 残数理论及其应用 94

8.1 残数定理 95

8.2 计算残数的公式 97

8.3 应用残数理论计算定积分 99

8.4 无穷积分 101

8.5 含三角函数的无穷积分·约当(Jordan)引理 104

8.6 积分路线上有奇点的情形·积分主值 107

8.7 多值函数的积分 110

8.8 其他例子 112

8.9 应用残数定理计算无穷级数的和 119

8.10 关于零点和极点的个数的定理 124

第九章 含参数的积分·Г函数和B函数 126

9.1 解析延拓的一个例子 126

9.2 解析延拓 127

9.3 含参数的定积分所表示的函数的解析性 128

9.4 Г函数(第二类欧勒积分) 131

9.5 Г函数的围道积分表示 138

9.6 Г函数的渐近表示·斯特令(Stirling)公式 140

9.7 B函数(第一类欧勒积分) 143

10.1 拉氏(Laplace)变换 146

第十章 拉普拉斯变换 146

10.2 拉氏变换的基本性质 148

10.3 拉氏换式的运算性质及其在解线性常微分方程初值问题中的应用 149

10.4 像函数的民数和积分的反演 153

10.5 折积定理 156

10.6 傅里叶(Fourier)积分 158

10.7 拉氏变换的普遍反演公式 160

10.8 应用残数理论求反演 161

10.9 δ函数 165

10.10 δ函数的傅氏换式和拉氏换式 169

第十一章 线性常微分方程的级数解法和积分解法 171

11.1 二阶线性常微分方程的奇点 171

11.2 方程常点邻域内的解 171

11.3 方程奇点邻域内的解·正则解和正则奇点 174

11.4 求正则解的例子·贝塞耳(Bessel)方程 181

11.5 非正则奇点邻域内的正则解 189

11.6 常规解和次常规解 191

11.7 积分解法·拉普拉斯(Laplace)型方程 196

11.8 勒让德方程的积分解·欧勒变换 200

第二部分 数学物理方程 203

第十二章 方程的导出和定解问题 203

12.1 方程的来源 203

12.2 杆的纵振动和弦的横振动 204

12.3 热传导方程 208

12.4 电报方程(传输线方程) 211

12.5 边界条件和初值条件 212

12.6 定解问题 217

第十三章 分离变数法 220

13.1 弦的自由振动 220

13.2 解的诠释 226

13.3 两端固定的弦的强迫振动 228

13.4 非齐次边界条件·第一边值问题 230

13.5 关于不含时间的问题的补充讨论 233

第十四章 正交曲面坐标系中方程的变数分离 237

14.1 坐标系的选择 237

14.2 正交曲面坐标系中的梯度、散度、旋度和拉氏算符 237

14.3 球坐标系和柱坐标系中方程V2u+λu=0的变数分离 243

14.4 圆内的狄里希累(Dirichlet)问题 246

第十五章 常微分方程的本征值问题 251

15.1 二阶线性常微分方程的本征值问题 251

15.2 斯特姆-刘维(Sturm-Liouville)型方程的本征值问题 257

15.3 用正交函数组展开 260

第十六章 特殊函数及其应用(一)·勒让德函数 264

16.1 勒让德方程的本征值问题·有界条件·勒让德多项式 264

16.2 勒让德多项式的微分表示--罗巨格(Rodrigues)公式 268

16.3 P1(x)的正交性和归一因子 270

16.4 P1(x)的完备性 273

16.5 应用举例--均匀电场中的导体球 274

16.6 P1(x)的生成函数 278

16.7 应用举例 280

16.8 P1(x)的递推关系 286

16.9 连带勒让德函数 288

16.10 P1(x)的正交归一关系 290

16.11 P1(x)(m＞0) 292

16.12 P1(x)的递推关系 293

16.13 加法公式 294

16.14 公式表 296

第十七章 特殊函数及其应用(二)·贝塞耳函数 300

17.1 贝塞耳(Bessel)函数Jn(x) 300

17.2 Jn(x)的振荡特性·Jn(x)的零点 301

17.3 贝塞耳函数的递推关系 304

17.4 Jn(x)的生成函数和积分表达式 305

17.5 加法公式 307

17.6 贝塞耳方程的本征值问题 308

17.7 应用举例--圆柱体的冷却 312

17.8 第二类贝塞耳函数Y?(x) 314

17.9 应用举例--空心圆柱体的径向振动 318

17.10 最陡下降法 320

17.11 贝塞耳函数的渐近表达式 323

17.12 第三类贝塞耳函数H？(x),H?(x)·柱函数 325

17.13 应用举例--电磁波在金属圆柱表面上的散射 326

17.14 半奇数阶贝塞耳函数 329

17.15 球贝塞耳函数j1(x)，n1(x)，h?(x)，h?(x) 330

17.16 e？ihrco?用勒让德多项式展开 331

17.17 变型(或虚宗量)贝塞耳函数 333

17.18 应用举例--有限长圆柱体内的稳定温度场 336

17.19 可化为贝塞耳方程的微分方程 339

17.20 含贝塞耳函数的积分 339

17.21 公式表 341

18.2 拉氏算符的格临函数 348

18.1 引言 348

第十八章 格临函数 348

18.3 格临函数的对称性 354

18.4 广义格临函数 355

18.5 无界区域的格临函数·基本解 358

18.6 用正交函数组展开求格临函数 362

18.7 用电像法求格临函数 367

18.8 初值问题的格临函数·波动方程的推迟解·无初值问题 370

第十九章 积分变换的应用 378

19.1 应用拉氏变换于热传导问题 378

19.2 应用积分变换解边值(初值)问题的普遍原理 383

19.3 汉克耳(Hankel)变换 385

第二十章 保角变换原理及其应用 389

20.1 拉氏算符的变换 389

20.2 解析函数的几何性质 392

20.3 几种最简单的保角变换·线性变换 394

20.4 分式线性变换 396

20.5 分式线性变换下圆的特性·反演点对 397

20.6 应用举例 400

20.7 变换ξ=zn 403

20.8 变换ξ=Inz 405

20.9 多边形的变换(席伐尔兹(Schwartz变换) 406

20.10 特殊情形下求A和ξi的公式 410

20.11 应用举例--平行板边缘的电场 413

20.12 把多边形外部变为上半平面的变换 416

20.13 应用举例--儒可夫斯基(Жуковский)变换 418

21.1 二阶线性偏微分方程的分类·两个自变量的情形 420

第二十一章 二阶线性偏微分方程分类 420

21.2 多个自变量的情形 424

21.3 定解问题·一维波动方程的达朗伯(D′Alembert)解 426

21.4 热传导方程和泊松(Poisson)方程的解的唯一性 430

第二十二章 波动方程的几个特殊解法 433

22.1 平均值方法·泊松公式 433

22.2 柱面波·降维法 436

22.3 里曼方法 438

22.4 例 443

第二十三章 变分法及其应用 445

23.1 泛函和泛函的极值问题 445

23.2 泛函数值的必要条件·欧勒方程 447

23.3 几个自变量的情形·重积分所表示的泛函的极值问题 450

23.4 泛函的条件极值问题 452

23.5 测地线问题 455

23.6 泛函的变分·泛函的导数 457

23.7 变端点问题·自然边界条件 459

23.8 应用于本征值问题 460

23.9 高阶本征值和本征函数 462

23.10 应用于边值问题 465

23.11 里兹(Ritz)方法 467

23.12 应用举例--圆形薄膜横振动的本征频率 469

第二十四章 积分方程简介 473

24.1 导致积分方程的问题举例 473

24.2 积分方程的特点·与微分方程的比较 477

24.3 线性积分方程的分类 477

24.4 第二类F-型积分方程的逐次逼近解法 479

24.5 预解式的概念 483

24.6 应用逐次逼近法于第二类V-型方程 487

24.7 退化核积分方程 489

24.8 退化核逼近 494

24.9 弗雷德霍姆(Fredholm)关于预解式的理论和公式 497

24.10 逼近问题·正交函数组的应用·核的本征值问题 504

24.11 傅氏级数逼近·希伯特(Hilbert)变换 507

24.12 双正交函数组的应用 509

24.13 积分变换的应用 512

24.14 阿贝耳(Abel)方程·欧勒变换的应用 516

24.15 席洛米许(Schl?milch)积分方程 518

索引 520

外国人名对照索引 526

符号索引 527