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第一章 无穷维分析的基础知识 1

1. Hilbert空间中的线性算子 1

1.1 基本概念、记号及若干引理 1

1.2 可闭算子、对称算子与自共轭算子 5

1.3 下半有界对称算子的自共轭延拓 10

1.4 自共轭算子的谱分解 12

1.5 Hilbert-Schmidt算子与迹算子 18

2. Fock空间与二次量子化 24

2.1 Hilbert空间的张量积 24

2.2 Fock空间 30

2.3 二次量子化算子 32

3. 赋可列范空间与核空间 36

3.1 赋可列范空间及其对偶空间 37

3.2 核空间及其对偶空间 42

3.3 拓扑张量积、Schwartz核定理 47

4. 拓扑线性空间上的Borel测度 51

4.1 Minlos-Sazanov定理 51

4.2 Hilbert空间上的Gauss测度 60

4.3 Banach空间上的Gauss测度 64

第二章 Malliavin随机变分学 73

1. Gauss概率空间与Wiener混沌分解 74

1.1 Gauss概率空间及其上的泛函 74

1.2 数值模型 79

1.3 多重Wiener-It？积分表示 83

2. 泛函的微分运算、梯度与散度 89

2.1 有限维Gauss概率空间 89

2.2 光滑泛函的梯度与散度 95

2.3 泛函的Sobolev空间 100

3. Meyer不等式及其推论 106

3.1 Ornstein-Uhlenbeck半群 106

3.2 Lp乘子定理 111

3.3 Meyer不等式 114

3.4 Meyer-Watanabe广义泛函 120

4. 非退化泛函的分布密度 125

4.1 Malliavin协方差阵及若干引理 125

4.2 分布密度的存在性 129

4.3 分布密度的光滑性 133

4.4 例 137

第三章 Wiener泛函的随机变分 140

1. It？泛函的微分分析与热核的正则性 140

1.1 Skorohod积分 140

1.2 随机微分方程解的光滑性 146

1.3 亚椭圆性与H？rmander条件 149

1.4 H？rmander定理的概率证明 155

2. Wiener空间中的位势理论与拟必然分析 161

2.1 (k,p)-容度 161

2.2 拟连续修正 165

2.3 容度的胎紧性、连续性与不变性 168

2.4 正广义泛函与有限能量测度 172

2.5 随机过程的拟必然轨道性质 176

3. 非适应随机分析 179

3.1 Skorohod积分的Riemann和逼近 180

3.2 非适应过程的It？公式 184

3.3 非适应随机微分方程 193

第四章 白噪声分析的一般理论 200

1. 白噪声分析的一般框架 201

1.1 Wick 张量积与Wiener-It？-Segal同构 202

1.2 检验泛函与广义泛函空间 205

1.3 经典的白噪声分析框架 211

2. 泛函空间的刻画 212

2.1 S-变换与空间(E)-βC(O≤β<1)的刻画 213

2.2 局部S-变换与空间(E)-1C的刻画 221

2.3 检验泛函空间的两种刻画 223

2.4 广义泛函的若干例子 228

3. 泛函的乘积与Wick积 236

3.1 泛函的乘积 236

3.2 广义泛函的Wick积 240

3.3 应用于Feynman积分 243

4. 广义泛函空间的矩刻画与正广义泛函 245

4.1 重正化算子 245

4.2 广义泛函空间的矩刻画 248

4.3 正广义泛函的测度表示 250

4.4 应用于P(φ)2-量子场 259

第五章 广义泛函空间中的线性算子 264

1. 广义泛函的分析运算 264

1.1 刻度变换 264

1.2 推移算子与Sobolev微分 267

1.3 梯度算子与散度算子 272

2. 广义泛函空间中的连续线性算子 275

2.1 算子的象征与混沌分解 276

2.2 广义算子的S-变换与Wick积 282

3. 积分核算子与算子的积分核表示 288

3.1 张量积的缩合 288

3.2 积分核算子 291

3.3 广义算子的积分核表示 299

4. 在量子物理中的若干应用 303

4.1 量子随机积分 303

4.2 Klein-Gordon场 306

4.3 无穷维经典Dirichlet型 309

附录A Hermite多项式与Hermite函数 317

附录B 局部凸空间及其对偶 322

1. 半范、范数与H范 322

2. 局部凸拓扑线性空间、有界集 323

3. 投影拓扑与拓扑投影极限 325

4. 归纳拓扑与拓扑归纳极限 326

5. 对偶空间与弱拓扑 327

6. 相容性和Mackey拓扑 328

7. 强拓扑和自反性 329

8. 对偶映射 330

9. 均匀凸空间和Banach-Saks定理 331

评注 332

参考文献 337

名词索引 360

符号说明 365