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第一章 空间解析几何初步 1

1.1 空间直角坐标系 1

一、空间点的直角坐标 1

二、空间两点间的距离 2

习题1.1 4

1.2 曲面及其方程 4

一、曲面方程的概念 4

二、空间的平面及其方程 6

三、旋转曲面 7

四、柱面 9

五、二次曲面 10

习题1.2 13

1.3 空间曲线及其方程 14

习题1.3 15

第二章 函数 16

2.1 函数概念 16

一、区间与区域 16

二、一元函数概念 19

三、多元函数概念 21

四、函数的表示 22

五、函数的几种特性 26

习题2.1 28

2.2 反函数 29

习题2.2 30

2.3 基本初等函数 30

2.4 复合函数与初等函数 32

一、一元复合函数 32

二、二元复合函数 33

三、初等函数 34

习题2.4 34

第三章 极限与连续 35

3.1 数列的极限 35

一、数列的极限 35

二、收敛数列的性质 39

习题3.1 40

3.2 一元函数的极限 40

一、x→∞时，函数f(x)的极限 40

二、x→x0时，函数f(x)的极限 42

习题3.2 46

3.3 无穷小量与无穷大量 47

一、无穷小量 47

二、无穷大量 48

三、无穷小量与无穷大量的关系 49

四、无穷小量的运算定理 50

习题3.3 51

3.4 极限的运算法则 两个重要极限 52

一、极限的运算法则 52

二、两个重要极限 56

习题3.4 62

3.5 无穷小量的比较 63

习题3.5 65

3.6 二元函数的极限 66

习题3.6 68

3.7 函数的连续性 68

一、一元函数的连续性 68

二、二元函数的连续性 76

习题3.7 78

3.8 闭区间上连续函数性质 79

习题3.8 82

第四章 导数与微分 83

4.1 一元函数的导数概念 83

一、实践中的变化率问题 83

二、导数的定义 85

三、导数的几何意义 85

四、求导举例 86

五、可导性与连续性的关系 89

习题4.1 90

4.2 求导法则 91

一、函数和、差、积、商的求导法则 92

二、复合函数的求导法则 95

三、反函数的求导法则 98

习题4.2 102

4.3 高阶导数 104

习题4.3 106

4.4 隐函数与参数方程确定的函数的导数 107

一、隐函数的导数 107

二、对数求导法 109

三、参数方程确定的函数的导数 109

习题4.4 111

4.5 微分 112

一、微分概念 112

二、微分公式和运算法则 115

三、利用微分计算函数的近似值 118

习题4.5 119

4.6 偏导数 120

一、偏导数 120

二、高阶偏导数 123

习题4.6 125

4.7 全微分 126

习题4.7 129

4.8 多元复合函数与隐函数的求导法 129

一、多元复合函数求导法 129

二、隐函数求导法 135

习题4.8 137

第五章 中值定理与导数的应用 138

5.1 中值定理 138

习题5.1 141

5.2 洛必达法则 142

一、“？”型及“？”型未定型的极限 142

二、其他类型未定型的极限 145

习题5.2 147

5.3 泰勒公式 148

一、泰勒公式 148

二、几个函数的马克劳林公式 150

三、泰勒公式的应用 152

习题5.3 154

5.4 函数的单调性与极值 154

一、函数单调性的判别法 154

二、函数的极值 158

三、最大值与最小值 163

习题5.4 165

5.5 函数的作图 166

一、曲线的凹凸性与拐点 166

二、曲线的渐近线 169

三、函数作图的一般步骤 170

习题5.5 172

5.6 多元函数的极值与最小二乘法 173

一、极值问题 173

二、最小二乘法 176

习题5.6 178

第六章 不定积分 179

6.1 不定积分的概念与基本积分公式 179

一、原函数与不定积分的概念 179

二、基本积分公式 181

三、用基本积分公式求不定积分 182

习题6.1 183

6.2 换元积分法 184

一、第一类换元法(凑微分法) 184

二、第二类换元法 188

习题6.2 192

6.3 分部积分法 193

习题6.3 196

6.4 几类特殊初等函数的积分举例 197

一、有理函数的积分举例 197

二、三角函数有理式的积分举例 200

三、简单无理函数积分举例 202

习题6.4 203

第七章 微分方程 205

7.1 微分方程的基本概念 205

习题7.1 209

7.2 一阶微分方程 210

一、可分离变量的微分方程 210

二、齐次方程 212

三、线性微分方程 213

习题7.2 217

7.3 可降阶的高阶微分方程 218

一、y(n)=f(x)型的微分方程 218

二、y =f(x,y′)型的微分方程 220

三、y =f(y,y′)型的微分方程 221

习题7.3 222

7.4 二阶常系数线性微分方程 223

一、二阶常系数齐次线性微分方程 223

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 227

习题7.4 231

7.5 微分方程组简介 232

习题7.5 235

第八章 定积分及其应用 236

8.1 定积分概念 236

一、实践中的和式极限问题 236

二、定积分的定义 240

三、定积分的几何意义 241

习题8.1 243

8.2 定积分的性质 244

习题8.2 247

8.3 定积分与不定积分的关系 248

一、积分上限的函数及其导数 248

二、牛顿-莱布尼兹公式 250

习题8.3 253

8.4 定积分的换元积分法与分部积分法 255

一、定积分的换元积分法 255

二、定积分的分部积分法 260

习题8.4 261

8.5 广义积分 262

一、无限区间上的广义积分 262

二、有无穷间断点的广义积分 265

三、Γ函数 268

习题8.5 270

8.6 定积分的应用 271

一、平面图形的面积 272

二、体积 277

三、功 液体静压力 280

四、经济应用举例 284

习题8.6 285

第九章 二重积分 287

9.1 二重积分的概念与性质 287

一、二重积分的概念 287

二、二重积分的性质 290

9.2 在直角坐标系中二重积分的计算 291

习题9.2 299

9.3 在极坐标系中二重积分的计算 300

习题9.3 305

第十章 无穷级数 307

10.1 常数项级数的概念 307

习题10.1 309

10.2 数项级数的基本性质及其级数收敛的必要条件 310

一、数项级数的性质 310

二、级数收敛的必要条件 310

习题10.2 312

10.3 正项级数的审敛法 312

习题10.3 316

10.4 任意项级数的审敛法 317

习题10.4 319

10.5 幂级数 320

一、函数项级数的一般概念 320

二、幂级数及其收敛性 321

习题10.5 324

10.6 幂级数的运算及其性质 325

习题10.6 327

10.7 函数展开成幂级数 327

一、泰勒(Taylor)级数 328

二、函数展开成幂级数 330

习题10.7 334

10.8 幂级数的应用 334

一、函数值的近似计算 334

二、求定积分的近似值 335

三、解微分方程 336

习题10.8 337

第十一章 数值计算简介 338

11.1 差分与差商 338

一、差分及其性质 338

二、差商及其性质 340

习题11.1 341

11.2 函数的插值多项式 341

一、拉格朗日插值多项式 341

二、牛顿差商插值多项式 343

习题11.2 345

11.3 数值微分 345

一、插值型求导公式 346

二、三点式求导公式 347

习题11.3 348

11.4 数值积分 349

一、定积分的辛普生公式 349

二、重积分的辛普生算法 350

习题11.4 352

11.5 常微分方程的数值解法 352

一、欧拉方法 353

二、改进的欧拉方法 354

三、龙格-库塔方法 355

习题11.5 357

附录一 常用的初等数学公式 358

附录二 简单积分表 363

附录三 希腊字母表 372

参考书目 373