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第一章 有限差分 1

1. 各阶差分.差分表 1

2. 计算差分的公式 3

3. 在差分表中误差的分布规律 5

4. 关于有限差分的一些定理 9

作者为中译本所写的序言 11

原序 12

5. 阶乘多项式的差分 12

译者序 13

6. 任一多项式按阶乘多项式的展开 14

7. 零的差分 14

8. 接绩的整数的幂次之和 15

9. 中心差分 16

10. 差分演算的反演算 20

第二章 有限和 20

11. 初等求和法 22

12. 分部求和法 25

第三章 差商 26

13. 定义和记号 26

14. 差商的对称性以及其他性质 29

15. 差商可作为两个行列式的比 29

16. 藉助于积分表示的差商 31

17. 呈复数积分形的差商 33

18. 关于差商的一些定理 34

19. 若干个函数的乘积的差商 35

20. 任一多项式按幂次渐增的一些多项式的展开 38

21. 带有自变量的重复值的差商 39

22. 差商的相继各阶导数 44

23. 带复自变量重复值的差商 45

24. 关于差商和有限差分之间的联系 47

25. 若干个函数乘积的高阶差分 49

第四章 反差商 50

26. 定义和记号 50

27. 将函数展成连分式 52

28. 反差商可当作两个行列式的比 53

29. 反差商的一些性质 57

30. 带自变量重复值的反差商 58

第五章 均匀(最优的)逼近 61

31. 引言 61

32. 维尔斯塔拉斯关于逼近的第一定理 65

33. 维尔斯塔拉斯第二定理 69

34. 关于函数以多项式的最优的逼近 71

35. 契伯舍夫多项式 75

36. 别茵斯坦多项式的一些性质 80

37. 关于被逼近的函数的导数与别茵斯坦逼近多项式间的联系 84

38. 最小偏差递减的快慢 87

第六章 点内插 90

39. 内插的目的 90

40. 对于自变量的不等区间的牛顿公式 95

41. 对于自变量的等距离值的牛顿公式 98

42. 以首二次的多项式的逼近 102

43. 对于复变函数的牛顿公式 103

44. 拉格朗日内插公式 105

45. 内插过程的收敛 107

46. 取决于节的分布的逼近性质 112

47. 新的内插公式 113

48. 高斯内插公式 117

49. 斯蒂尔林内插公式 122

50. 白塞尔公式 125

51. 爱维雷特公式 128

52. 另一些内插公式 129

53. 关于谢巴尔德规则的意见 132

54. 一些实用的指示 134

55. 关于内插公式的误差 136

56. 对剩余项的估计 138

57. 对于以多项式逼近的某些说明 142

58. 欧特肯的线性内插方法 143

59. 纳维利的线性内插方法 146

60. 在自变量的重复值的情形下的线性内插方法 148

61. 函数藉助于连分式的内插 150

62. 带自变量的重复值以反差商的内插 154

63. 三角内插 155

64. 关于三角内插多项式的收敛性 159

65. 带重节的内插 166

66. 一般内插公式 167

67. 一般内插公式的剩余项 169

68. 带重节的另一些内插公式 172

69. 藉助接续各阶导数的内插 174

70. 费页尔内插方法 175

第七章 平方逼近 178

71. 函数按最小二乘法的逼近 178

72. 周期函数藉助于三角多项式的平方逼近 184

73. 藉助于线性无关函数组的逼近表示 188

74. 平方逼近的契伯舍夫公式 191

75. 非线性的依从于一个或几个参数的函数的逼近 200

76. 分段连续函数的逼近 202

77. 用以确定平方逼近的系数的方程组 205

78. 平方误差的计算 208

79. 多个自变量函数的平方逼近 209

第八章 富立叶级数和正交多项式 213

80. 正交函数组 213

81. 以线性无关函数的逼近 217

82. 富立叶级数收敛的性状 220

83. 非周期函数 223

84. 富立叶级数的逐项积分和微分 223

85. 函数以在任意区间内的富立叶级数来表示 226

86. 函数及其导数的间断对系数微小的阶的影响 228

87. 富立叶级数的剩余项的估计 231

88. 由某些多项式衔接而成的函数展成富立叶级数 232

89. 改善三角级数收敛性的克雷洛夫方法 236

90. 例 240

91. 勒让达多项式 245

93. 正交性 247

92. 勒让达微分方程 247

94. 递推公式 248

95. 勒让达多项式的几何性质 249

96. 正规化因式 250

97. 积分表示.生成函数 251

98. Xn(x)的界限 252

99. 按勒让达多项式的展开式 253

100. 在间断点的收敛性 256

101. 勒让达级数的均匀收敛性 258

102. 关于带有变限的积分的计算 259

103. 计算重积分的公式 261

104. 实用调和分析 263

105. 关于依赖于参数的函数的积分的计算 271

106. 多重富立叶级数 274

107. 余弦和正弦的乘积的级数 277

108. 引言 279

第九章 经验公式 279

109. 观察结果的修整 283

110. 图形法 287

111. 平均值法 291

112. 最小二乘法 295

第十章 数学表的扩张 296

113. 关于表的扩张 296

114. 扩表公式 297

第十一章 反内插法 304

115. 反内插问题 304

116. 藉助于逐步逼近的反内插 304

117. 级数的转换 307

118. 反内插公式 309

119. 拉格朗日和布尤尔曼公式 311

120. 戴劳公式的应用 314

第十二章 数值微分法 320

121. 带差分的数值微分公式 320

122. 马尔柯夫公式 322

123. 间隔的缩小 330

124. 差公按阶为渐增的差分的展开式 333

125. 带中心差分的数值微分公式 333

126. 各阶差分和导数之间的相依关系 340

127. 不带差分的公式 342

128. 单侧导数的公式 349

129. 为作不带差分的公式所需的表 350

130. 关于不带差分的公式的附记 357

131. 关于未定系数法 359

第十三章 数值积分法 362

132. 关于积分的近似计算 362

133. 反常积分 368

134. 矩形公式 369

135. 新的内插公式 372

136. 一般的求积公式 375

137. 带奇数个横坐标的闭型求积公式 377

138. 带奇数个横坐标的公式的剩余项 379

139. 带偶数个横坐标的闭型求积公式 384

140. 带偶数个横坐标的公式的剩余项 385

141. 非闭型的求积公式 391

142. 带固定横坐标的求积公式 395

143. 带有在积分区间外的横坐标的求积公式 397

144. 闭型公式的相对准确度 403

145. 以两个算出的结果表出误差 407

146. 例 409

147. 高斯求积公式 412

148. 契伯舍夫求积公式 418

149. 马尔柯夫求积公式 425

150. 别茵斯坦关于求积公式的研究 428

151. 新的求积公式 432

152. 计算求积公式的系数和横坐标的新方法 435

153. 关于合适的利用求积公式的方法 436

154. 斯捷克洛夫关于求积公式的研究 452

155. 斯提尔捷斯积分的计算 456

156. 带差分的求积公式 459

157. 带有在曲折线上的差分的求积公式 464

158. 斯捷克洛夫关于求积公式的收敛性的研究 466

159. 关于反常积分的近似计算 469

160. 带被积函数的导数的求积公式 474

161. 关于待定系数法 480

162. 重积分的近似计算公式 493

163. 关于估计定积分的不等式 496

165. 贝努里多项式 500

第十四章 欧拉求和公式 500

164. 引言 500

166. 贝努里数 503

167. 递推公式 503

168. 贝努里多项式的解析性质 504

169. 贝努里数的性质 505

170. 贝努里多项式的几何性质 507

171. 欧拉公式 509

172. 对定积分的近似计算的应用 512

173. 关于欧拉公式的收敛性 513

174. 欧拉求和公式 517

175. 无穷积分限的情形 519

176. 正的幂次的和的一般公式 520

177. 斯蒂尔林公式 520

178. 奥斯特洛格拉特斯基公式 523

180. 格列高利求和公式 525

第十五章 带差分的求和公式 525

179. 引言 525

181. 拉普拉斯求和公式 526

182. 高斯第一求和公式 528

183. 高斯第二求和公式 530

184. 拉包克求和公式 533

185. 例 535

第十六章 多重求和 540

186. 不同重的和.和的表 540

187. 多重和以函数的值的明显表达式 543

188. 以求和来计算矩 544

189. 多重积分法 547

190. 高斯求和公式的简化 548

191. 不定积分的列表 551

192. 多重积分的求和公式 555

第十七章 多变量函数的内插法 561

193. 二变量函数的内插法 561

194. 二重差分 563

195. 带自变量的等距离值的二重差分 565

196. 带差商的内插公式 567

197. 带二个变量的拉格朗日内插公式 572

198. 三个或多个变量的函数的内插公式 573

199. 带差分的内插公式 575

第十八章 求体积公式 585

200. 引言 586

201. 求积公式的重复应用 587

202. 横截面法 590

203. 反常二重积分 590

204. 可由积分内插公式得到的求体积公式 591

205. 带差分的求体积公式 600

206. 包含被积函数的偏导数的求体积公式 601

207. 在任意域内的二重积分 604

208. 在矩形内的二重积分的近似计算 607

209. 展布在对称域上的二重积分 613

210. 对于圆的求体积公式 614

211. 多重积分的近似公式的作法 618

第十九章 记号演算 621

212. 记号多项式 621

213. 移位算子 622

214. 算子的无穷级数 622

215. 算子演算的应用 624

216. 差分算子与微分算子间的联系 624

217. 通论 625

参考文献 627