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第一部分 微分流形 1

第一章 多元微积分 1

1.1 向量空间 1

1.2 映射及其微分 19

1.3 积分 45

第二章 微分流形 68

2.1 微分流形的基本概念 68

2.2 切空间与切映射 77

2.3 上切空间与拉回映射 91

2.4 子流形 95

2.5 流形上的向量场 105

2.6 向量场的积分曲线和Frobenius定理 111

2.7 上切丛和微分1-形式 119

第三章 流形上的积分 122

3.1 张量与张量场 122

3.2 微分形式与外微分 132

3.3 形式的积分和Stokes定理 141

第四章 de Rham定理和Hodge定理 167

4.1 de Rham定理 167

4.2 Hodge定理 183

第五章 线性联络 196

5.1 线性联络 196

第二部分 黎曼几何 196

5.2 平行移动 201

5.3 线性联络的测地线 205

第六章 黎曼度量与黎曼联络 207

6.1 黎曼度量 207

6.2 黎曼联络 211

6.3 协变微商 215

第七章 黎曼曲率 220

7.1 黎曼曲率 220

7.2 截面曲率 225

7.3 E.Cartan的结构方程 229

8.1 测地线 234

第八章 测地线和法坐标 234

8.2 指数映射和法坐标 235

8.3 Hopt-R.now定理 243

第九章 李导数和Killing向量场 248

9.1 单参局部变换群 248

9.2 李导数 250

9.3 Killing向量场 254

第十章 常曲率黎曼流形 257

10.1 常曲率黎曼流形 257

10.2 完备常曲率黎曼流形 258

参考书目 262