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第一章 函数用无穷级数和无穷乘积展开 1

1.1. 伯努利(Bernoulli)多项式与伯努利数 1

1.2. 欧勒(Euler)多项式与欧勒数 6

1.3. 欧勒-麦克洛临(Euler-Maclaurin)公式 9

1.4. 拉格朗日(Lagrange)展开公式 16

1.5. 半纯函数的有理分式展开。米塔格-累夫勒(Mittag-Leffler)定理 19

1.6. 无穷乘积 24

1.7. 函数的无穷乘积展开。外氏(Weierstrass)定理 28

1.8. 渐近展开 33

1.9. 拉普拉斯(Laplace)积分的渐近展开。瓦特孙(Watson)引理 38

1.10. 用正交函数组展开 41

习题 46

第二章 二阶线性常微分方程 53

2.1. 二阶线性常微分方程的奇点 53

2.2. 方程常点领域内的解 53

2.3. 方程奇点领域内的解 57

2.4. 正则解。正则奇点 62

2.5. 夫罗比尼斯(Frobenius)方法 68

2.6. 无穷远点 71

2.7. 傅克斯(Fuchs)型方程 72

2.8. 具有五个正则奇点的傅克斯型方程 74

2.9. 具有三个正则奇点的傅克斯型方程 76

2.10. 非正则奇点。正则形式解 82

2.11. 非正则奇点。常规解和次常规解 85

2.12. 积分解法。基本原理 90

2.13. 拉普拉斯型方程和拉氏变换 93

2.14. 欧勒变换 97

习题 101

第三章 伽马函数 105

3.1. 伽马函数的定义 105

3.2. 递推关系 106

3.3. 欧勒无穷乘积公式 107

3.4. 外氏(Weierstrass)无穷乘积 109

3.5. 伽马函数与三角函数的联系 110

3.6. 乘积公式 112

3.7. 围道积分 113

3.8. 欧勒第一类积分。B函数 115

3.9. 双周围道积分 118

3.10. 狄里希累(Dirichlet)积分 119

3.11. Γ函数的对数微商 120

3.12. 渐近展开式 124

3.13. 渐近展开式的另一导出法 126

3.14. 里曼(Riemann)ζ函数 128

3.15. ζ函数的函数方程 130

3.16. s为整数时ζ(s,a)之值 132

3.17. 厄密(Hermite)公式 132

3.18. 与伽马函数的联系 135

3.19. ζ函数的欧勒乘积 138

3.20. ζ函数的里曼积分 139

3.21. 伽马函数的渐近开展的又一导出法 141

3.22. ζ函数的计算 144

习题 145

第四章 超几何函数 152

4.1. 超几何级数和超几何函数 152

4.2. 邻次函数之间的关系 154

4.3. 超几何方程的其他解用超几何函数表示 156

4.4. 指标差为整数时超几何方程的第二解 161

4.5. 超几何函数的积分表示 167

4.6. 超几何函数的巴恩斯(Barnes)积分表示 172

4.7. F(α，β，γ，Ι)之值 175

4.8. 在奇点0，1，∞附近的基本解之间的关系。解析开拓 178

4.9. γ-α-β，α-β是整数的情形 181

4.10. 雅可毕(Jacobi)多项式 190

4.11. 切比谢夫(Чебыщев)多项式 194

4.12. 二次变换 199

4.13. 库末(Kummer)公式以及由它导出的求和公式 207

4.14. 参数大时的渐近展开 209

4.15. 广义超几何级数 213

4.16. 两个变数的超几何级数 215

4.17. F1和F2的变换公式 220

4.18. 可约化的情形 222

习题 227

第五章 勒让德函数 235

5.1. 勒让德(Legendre)方程 235

5.2. 勒让德多项式 237

5.3. Pn(x)的生成函数。微商表示--罗巨格(Rodrigues)公式 240

5.4. Pn(x)的积分表示 242

5.5. Pn(x)的递推关系 243

5.6. 勒让德多项式作为完备正交函数组 244

5.7. Pn(x)的零点 249

5.8. 第二类勒让德函数Qn(x) 250

5.9. Qn(x)的递推关系 256

5.10. 函数(x-t)-1用勒让德函数展开。诺埃曼(Neumann)展开 257

5.11. 连带勒让德函数P？(x) 260

5.12. P？(x)的正交关系 262

5.13. P？(x)和Q？(x)的递推关系 266

5.14. 加法公式 268

5.15. 球面谐函数Ylm(θ，?) 271

5.16. 普遍的连带勒让德函数P？(z) 274

5.17. Q？(z) 279

5.18. 割缝-∞<x<1上P？(x)的定义 284

5.19. 割缝-∞<x<1上Q？(x)的定义 287

5.20. Pv(z)和P？(z)的其他积分表示 291

5.21. 加法公式 297

5.22. P？(cosθ)和Q？(cosθ)当v→∞时的渐近展开式 301

5.23. 特种球多项式C？(x) 305

习题 308

第六章 合流超几何函数 327

6.1. 合流超几何函数 327

6.2. 邻次函数间的关系 330

6.3. 惠泰克(Whittaker)方程和惠泰克函数Mk,m(z) 331

6.4. 积分表示 332

6.5. 惠泰克函数Wk,m(z) 336

6.6. Wk,m(z)当z→∞时的渐近展开 339

6.7. Wk,m(z)的巴恩斯积分表示 342

6.8. W±k,m(±z)与M±k,±m(±z)的关系。F(α，γ,z)的渐近展开。斯托克斯(Stokes)现象 345

6.9. γ(或2m)为整数的情形 348

6.10. |α|，|γ|很大时F(α，γ,z)的渐近展开 351

6.11. 可约化为合流超几何方程的微分方程 352

6.12. 韦伯(Weber)方程。抛物线柱函数Dn(z) 354

6.13. 厄密(Hermite)函数和厄密多项式 359

6.14. 拉革尔(Laguerre)多项式 361

6.15. 其他一些可用惠泰克函数表示的特殊函数 367

习题 369

第七章 贝塞耳函数 381

7.1. 贝塞耳(Bessel)方程及其来源。与合流超几何方程的关系 381

7.2. 第一类贝塞耳函数J±v(z),2v≠整数 383

7.3. 半奇数阶贝塞耳函数J?(z) 386

7.4. Jv(z)的积分表示 388

7.5. 整数阶贝塞耳函数Jn(z) 396

7.6. 第二类贝塞耳函数Yv(z) 402

7.7. 第三类贝塞耳函数(汉克耳(Hankel)函数)H？(z),H？(z) 406

7.8. 变型(或虚宗量)贝塞耳函数Iv(z)和Kv(z)。汤姆孙(Thomson)函数berv(z),beiv(z)等 412

7.9. 球贝塞耳函数iI(z),n(z),h？(z),h？(z) 415

7.10. 渐近展开，|z|→∞的情形 417

7.11. 最陡下降法 420

7.12. v阶贝塞耳函数在|v|和|z|都很大时的渐近展开 424

7.13. 加法公式 436

7.14. 含贝塞耳函数的积分。(一)有限积分 440

7.15. 含贝塞耳函数的积分。(二)无穷积分 443

7.16. 诺埃曼(Neumann)展开 456

7.17. 卡普坦(Kapteyn)展开 460

7.18. 贝塞耳函数的零点 466

7.19. 傅里叶(Fourier)-贝塞耳展开 470

习题 472

第八章 外氏椭圆函数 507

8.1. 椭圆积分与椭圆函数 507

8.2. 椭圆积分的周期 511

8.3. 双周期函数和椭圆函数的一般性质 513

8.4. 函数？(z) 517

8.5. ？(z)和？′(z)之间的代数关系 520

8.6. 函数ζ(z) 523

8.7. 函数σ(z) 526

8.8. 外氏椭圆函数的齐次性 528

8.9. 普遍椭圆函数表达式 529

8.10. 加法公式 534

8.11. 三次曲线的坐标用椭圆函数表达 538

8.12. 四次多项式问题 540

8.13. 亏数为一的曲线 544

习题 548

第九章 忒塔函数 553

9.1. 函数θ(v) 553

9.2. 函数？k(v) 555

9.3. 椭圆函数用忒塔函数表达 558

9.4. ？k(v)的平方之间的关系 559

9.5. 加法公式 560

9.6. 忒塔函数所满足的微分方程 561

9.7. 一些常数的值 564

9.8. 勒让德第一种椭圆积分 566

9.9. 雅氏虚变换 570

9.10. 朗登(Landen)型变换 573

9.11. 忒塔函数用无穷乘积表示 574

9.12. 忒塔函数的对数微商用傅里叶级数展开 578

9.13. 函数Θ(u)和H(u) 580

习题 581

第十章 雅氏椭圆函数 589

10.1. 雅氏椭圆函数sn u,cn u,dn u 589

10.2. 雅氏椭圆函数的几何表示法 591

10.3. 全椭圆积分 594

10.4. 加法公式 596

10.5. 雅氏椭圆函数的周期性 598

10.6. 雅氏椭圆函数的极点和零点 599

10.7. 椭圆函数的变换 601

10.8. 椭圆积分的演算 605

10.9. 第二种椭圆积分 612

10.10. 第三种椭圆积分 614

10.11. 函数E(u)的性质 615

10.12. K和E对k的微分方程和对k的展开式 618

10.13. 雅氏椭圆函数与忒塔函数的关系 621

10.14. 雅氏椭圆函数用无穷乘积和傅里叶级数表达 627

习题 631

第十一章 拉梅函数 637

11.1. 椭球坐标 637

11.2. 坐标用椭圆函数表达 640

11.3. 拉梅(Lamé)方程 643

11.4. 四类拉梅函数 646

11.5. 椭球谐函数 654

11.6. 尼文(Niven)的表达式 656

11.7. 关于拉梅多项式的零点 661

11.8. 第二种拉梅函数 663

11.9. 广义拉梅函数 665

11.10. 拉梅函数的积分方程 669

11.11. 椭球谐函数的积分表达式 671

习题 674

第十二章 马丢函数 678

12.1. 马丢(Mathieu)方程 678

12.2. 解的一般性质。基本解 680

12.3. 夫洛开(Floquet)解 681

12.4. 马丢方程的周期解 683

12.5. 夫洛开解的傅里叶展开 685

12.6. 本征值λ(q)的计算公式 688

12.7. 马丢函数cem(z)和sem(z) 692

12.8. λv(q)依q的冪级数展开 696

12.9. 当q小的时候马丢函数cem(z),sem(z)的傅里叶展开 699

12.10. 无穷行列式 702

12.11. 希耳(Hill)方程 703

12.12. 马丢方程的稳定解与非稳定解。稳定区与非稳定区 708

12.13. λ>>q>0时马丢方程的近似解 711

12.14. 马丢函数的积分方程 714

习题 717

附录一 三次方程的根 727

附录二 四次方程的根 729

附录三 正交曲面坐标系 731

参考书目 752

符号 753

索引 755

外国人名对照索引 759