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第一章 预备知识 1

1 微分流形 1

2 可微映射 6

关于编号的说明 9

关于某些符号与用语的说明 10

3 切空间与切映射 11

4 代数基本定理的“拓扑”证明 17

附录α 逆函数定理 21

练习A 25

第二章 第二可数性质，仿紧性质与单位分解 27

1 第二可数性质 27

2 局部紧性质 29

3 仿紧性质 31

4 单位分解 32

5 紧流形嵌入Euclid空间 35

练习B 37

第三章 Whitney 嵌入定理 39

1 零测集 39

2 Whitney浸入定理 43

3 常态映射与Whitney嵌入定理 52

练习C 58

第四章 向量丛与管状邻域定理，映射的光滑化与同伦的光滑化 60

1 引例 60

2 向量丛的概念 66

3 子丛，Riemann度量，正交补丛 72

4 管状邻域定理 75

5 映射的光滑化与同伦的光滑化 85

附录β 更一般的管状邻域定理 88

练习D 89

第五章 正则值与横截性 91

1 正则值与Sard定理 91

2 横截性 94

3 横截逼近定理 97

4 关于映射的Cr拓扑与Cr意义下的逼近 103

5 涉及带边流形的定理 106

附录γ Sard定理的证明 115

练习E 120

1 向量场与流 123

第六章 向量场与流，Morse函数 123

2 流形的匀齐性 129

3 Morse函数 132

练习F 135

第七章 一维流形的分类与Brouwer不动点定理 137

1 一维微分流形的分类 137

2 Brouwer不动点定理 143

练习G 146

第八章 模2映射度与Borsuk-Ulam定理 148

1 模2映射度 149

2 模2环绕数 155

3 Borsuk-Ulam定理 159

练习H 163

第九章 定向映射度与Hopf定理 165

1 可定向流形 165

2 定向映射度与定向环绕数 170

3 Hopf定理 177

练习I 185

1 映射度定义的局部化 186

第十章 局部映射度，Leray乘积公式与Jordan-Brouwer分离定理 186

2 Leray乘积公式 190

3 Jordan-Brouwer分离定理 195

4 紧致超曲面的分离性质 199

练习J 203

第十一章 相交数，向量场奇点的指标与Poincaré-Hopf定理 205

1 模2相交数 205

2 定向相交数 207

3 相交数定义的局部化 213

4 向量丛截面的光滑化与横截逼近 215

5 向量场孤立零点的指标 216

6 Poincaré-Hopf定理 220

练习K 225

第十二章 映射度的积分表示与Gauss-Bonnet公式 226

1 映射度的积分表示 226

2 Gauss-Bonnet公式 232

练习L 236

附录δ 外微分形式的积分与一般Stokes定理 237

参考文献 258

术语索引 260

符号索引 264