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绪论 1

第一章 Fourier变换 17

§1．Fourier积分与Fourier变换 17

§2．Mellin变换的反转公式 19

§3．Laplace变换的反转公式 20

第二章 求和公式 22

§1．Abel分部求和法 22

§2．Euler-MacLaurin求和法 24

§3．Poisson求和法 29

习题 35

§1．无穷乘积 39

第三章 Г函数 39

§2．Г函数的基本性质 43

§3．Stirling公式 49

习题 55

第四章 几个函数论定理 57

§1．Jensen定理 57

§2．Borel-Caratheodory定理 60

§3．Hadamard三圆定理 62

§4．Phragmen-Lindelof定理 63

第五章 有穷阶整函数 67

§1．有穷阶整函数 67

§2．收敛指数与典型乘积 69

§3．Hadamard因式分解定理 74

§1．定义与收敛性 79

第六章 Dirichlet级数 79

§2．唯一性定理 85

§3．常义Dirichlet级数的运算 86

§4．常义Dirichlet级数的Euler乘积表示 92

§5．常义Dirichlet级数的Perron公式 96

§6．在垂直线上的阶 106

§7．积分均值公式 109

习题 110

第七章 ζ(s)的函数方程与基本性质 123

§1．函数方程(一)(Euler-MacLaurin求和法) 123

§2．函数方程(二)(复变积分方法) 130

§3．函数方程(三)(Poisson求和法) 134

§4．在s=1附近的性质 137

§5．最简单的阶估计 139

习题 143

第八章 ζ (s)/ζ(s)的零点展开式 156

§1．ζ(s)和ζ(s)的无穷乘积 156

§2．ζ (s)/ζ(s)和ζ (s)/ζ(s)的零点展开式 157

§3．非显然零点的简单性质 160

§4．零点展开式的简化 162

§5．logζ(s) 164

习题 166

第九章 ζ(s)的非显然零点的个数 168

§1．基本关系式 168

§2．渐近公式(一) 169

§3．渐近公式(二) 171

§4．S(T)的性质 175

习题 179

第十章 ζ(s)的非零区域 182

§1．ζ(1+it)≠0 182

§2．非零区域(一)(整体方法) 184

§3．非零区域(二)(局部方法) 186

习题 193

第十一章 素数定理 196

§1．问题的提出和进展 196

§2．ψ(x)的表示式 199

§3．素数定理 202

§4．Ω定理 205

习题 209

§1．划时代的论文 216

第十二章 Riemann的贡献 216

§2．Riemann猜想 219

§3．Riemann猜想的推论及等价命题 222

习题 226

第十三章 Dirichlet特征 229

§1．定义与基本性质 229

§2．原特征 236

§3．Gauss和 243

§4．简单的特征和估计 247

习题 251

第十四章 L(s，X)的函数方程与基本性质 258

§1．定义与最简单的性质 258

§2．函数方程 260

§3．最简单的阶估计 267

习题 270

第十五章 L (s，X)/L(s,X)的零点展开式 272

§1．ζ(s，X)和L(s，X)的无穷乘积 272

§2．L(s，X)/L(s，X)的零点展开式 273

§3．非显然零点的简单性质 275

§4．logL(s，X) 276

习题 277

第十六章 L(s，X)的非显然零点的个数 278

§1．基本关系式 278

§2．渐近公式 279

§3．一点说明 280

习题 280

§1．非零区域(一) 281

第十七章 L(s，X)的非零区域 281

§2．Page定理 295

§3．Siegel定理 299

§4．非零区域(二) 303

习题 304

第十八章 算术数列中的素数定理 307

§1．ψ(X，x)的表示式 307

§2．算术数列中的素数定理 313

习题 317

第十九章 线性素变数三角和估计 319

§1．Вйиоградов方法 320

§2．Vaughan方法 327

§3．零点密度方法 332

§4．复变积分法 337

§5．小q情形的估计 344

习题 347

第二十章 Goldbach猜想 353

§1．Goldbach问题中的圆法 354

§2．三素数定理(非实效方法) 358

§3．三素数定理(实效方法) 364

§4．Goldbach数 368

习题 376

第二十一章 Weyl指数和估计(一)(van der Corput方法) 379

§1．基本关系式 380

§2．基本估计式 387

§3．基本不等式 390

§4．Weyl和估计 393

§5．反转公式 395

§6．指数对理论 403

习题 410

第二十二章 Weyl指数和估计(二)(Вйиоградов方法) 412

§1．指数和的均值估计 412

§2．Weyl和估计(a) 424

§3．Weyl和估计(b) 428

习题 435

第二十三章 ζ(s)与L(s，X)的渐近公式 442

§1．ζ(s，a)的渐近公式(一) 442

§2．L(s，X)的渐近公式 447

§3．ζ(s，a)的渐近公式(二) 452

§4．ζ(s，a)的渐近公式(三) 461

§5．另一种类型的渐近公式 472

习题 475

第二十四章 ζ(s)与L(s，X)的阶估计 477

§1．ζ(s，a)的阶估计 477

§2．L(s，X)的阶估计 485

习题 491

第二十五章 ζ(s)与L(s，X)的积分均值定理 492

§1．ζ(s，a)的二次积分均值定理(一) 493

§2．ζ(s，a)的二次积分均值定理(二) 502

§3．L(s，X)的二次积分均值定理 509

§4．ζ(s)的四次积分均值定理 512

习题 520

第二十六章 Waring问题 522

§1．Waring问题中的圆法 525

§2．基本区间上的积分的渐近公式 526

§3．完整三角和估计 531

§4．奇异级数 536

§5．奇异积分 541

§6．余区间上的积分的估计 542

§7．解数的渐近公式 543

§8．G(k)的上界估计的改进 544

习题 548

第二十七章 Dirichlet除数问题 558

§1．问题与研究方法 558

§2．第一种方法 561

§3．第二种方法 568

习题 573

第二十八章 大筛法 577

§1．大筛法的分析形式 578

§2．Gallagher方法 579

§3．对偶原理的应用(一) 582

§4．对偶原理的应用(二) 590

§5．大筛法的算术形式 600

§6．Brun-Titchmarsh定理的改进 607

习题 615

第二十九章 Dirichlet多项式的均值估计 621

§1．大筛法型的特征和估计 621

§2．Dirichlet多项式的混合型均值估计 629

§3．ζ(s)与L(s，X)的四次均值估计 636

§4．Halasz方法 643

习题 650

第三十章 零点分布(一) 652

§1．方法概述 653

§2．零点密度定理 660

§3．零点密度定理的改进 665

§4．ζ函数的零点密度定理的进一步改进 668

§5．小区间中的素数分布 673

习题 677

第三十一章 算术数列中素数的平均分布 678

§1．问题的转化 679

§2．第一个证明(零点密度方法) 683

§3．第二个证明(复变积分法) 685

§4．第三个证明(Vaughan方法) 690

习题 696

§1．基本知识 698

第三十二章 筛法 698

§2．组合筛法的基本原理 710

§3．最简单的Brun筛法 716

§4．Brun筛法 722

§5．Rosser筛法 732

§6．Selberg上界筛法 765

习题 787

第三十三章 零点分布(二) 801

§1．一个渐近公式 802

§2．Линник零点密度定理 819

§3．Deuring-Heilbronn现象 842

第三十四章 算术数列中的最小素数 856

§1．问题的转化 857

§2．定理的证明 860

第三十五章 Dedekindη函数 867

§1．函数方程(一) 867

§2．Dedekind和 874

§3．函数G(z，s) 879

§4．函数方程(二) 887

习题 890

第三十六章 无限制分拆函数 892

§1．无限制分拆函数p(n) 892

§2．p(n)的上界及下界估计 896

§3．p(n)的渐近公式 900

§4．p(n)的级数展开式 907

参考书目 913