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序言 1

第一章 多元函数及其导数 1

1.1 平面和空间的点和点集 1

a.点的序列：收敛性 1

练习 2

b.平面上的点集 3

c.集合的边界。闭集与开集 6

d.闭包作为极限点的集合 8

e.空间的点与点集 9

练习1.1 10

问题1.1 11

1.2 几个自变量的函数 11

a.函数及其定义域 11

b.最简单的函数 12

c.函数的几何表示法 13

练习1.2 15

1.3 连续性 17

a.定义 17

b.多元函数的极限概念 19

c.无穷小函数的阶 22

练习*1.3 24

问题*1.3 27

1.4 函数的偏导数 27

a.定义.几何表示 27

练习1.4a 31

问题1.4a 33

b.例 33

c.偏导数的连续性与存在性 35

练习1.4c 36

d.微分次序的改变 37

练习1.4d 40

问题1.4d 40

a.可微性的概念 41

1.5 函数的全微分及其几何意义 41

练习1.5a 43

b.方向导数 44

问题1.5a 44

练习1.5b 46

c.可微性的几何解释.切平面 47

练习1.5c 49

d.函数的微分 50

练习1.5d 53

e.在误差计算方面的应用 53

练习1.5e 54

1.6函数的函数(复合函数)与新自变量的引入 55

a.复合函数.链式法则 55

练习1.6a 59

问题1.6a 60

b.例 61

c.自变量的替换 62

习题1.6c 65

问题1.6c 66

1.7 多元函数的中值定理与泰勒定理 66

a.关于用多项式作近似的预备知识 66

练习1.7a 67

b.中值定理 68

练习1.7b 69

问题1.7b 70

c.多个自变量的泰勒定理 70

练习1.7c 72

问题1.7c 73

a.例和定义 74

1.8依赖于参量的函数的积分 74

b.积分关于参量的连续性和可微性 76

练习1.8b 81

c.积分(次序)的互换.函数的光滑化 82

1.9 微分与线积分 84

a.线性微分型 84

b.线性微分型的线积分 87

练习1.9b 93

c.线积分对端点的相关性 93

1.10 线性微分型的可积性的基本定理 96

a.全微分的积分 96

b.线性积分只依赖于端点的必要条件 97

c.可积条件的不足 99

d.单连通集 102

e.基本定理 105

附录 107

A.1 多维空间的聚点原理及其应用 107

a.聚点原理 107

b.柯西收敛准则.紧性 109

c.海涅-波瑞耳覆盖定理 110

d.海涅-波瑞耳定理在开集所包含的闭集上的应用 111

A.2 连续函数的基本性质 113

a.集合与子集合 114

A.3 点集论的基本概念 114

b.集合的并与交 116

c.应用于平面上的点集 119

A.4 剂次函数 120

第二章 向量、矩阵与线性变换 123

2.1 向量的运算 123

a.向量的定义 123

b.向量的几何表示 125

c.向量的长度，方向夹角 127

d.向量的数量积 131

e.超平面方程的向量形式 133

f.向量的线性相关与线性方程组 136

练习2.1 141

a.基的变换，线性空间 143

2.2 矩阵与线性变换 143

b.矩阵 146

c.矩阵的运算 150

d.方阵.逆阵.正交阵 152

练习2.2 157

2.3 行列式 159

a.二阶与三阶行列式 159

b.向量的线性型与多线性型 162

c.多线性交替型.行列式的定义 166

d.行列式的主要性质 169

e.行列式对线性方程组的应用 173

练习2.3 175

2.4 行列式的几何解释 178

a.向量积与三维空间中平行六面体的体积 178

b.行列式关于一列的展开式.高维向量积 186

c.高维空间的平行四边形的面积与平行多面体的体积 188

d.n维空间中平行多面体的定向 193

e.平面与超平面的定向 197

f.线性变换下平行多面体体积的改变 199

2.5 分析中的向量概念 202

a.向量场 202

b.数量场的梯度 203

c.向量场的散度和旋度 206

d.向量族.在空间曲线论和质点运动中的应用 209

练习*2.5 212

第三章 微分学的发展和应用 217

3.1 隐函数 217

a.一般说明 217

练习3.1a 218

b.几何解释 218

练习3.1b 220

c.隐函数定理 220

练习3.1c 224

d.隐函数定理的证明 224

练习3.1d 227

e.多于两个自变量的隐函数定理 228

练习3.1e 229

3.2 用隐函数形式表出的曲线与曲面 230

a.用隐函数形式表出的平面曲线 230

练习3.2a 234

b.曲线的奇点 235

练习3.2b 237

c.曲面的隐函数表示法 238

练习3.2c 240

3.3 函数组、变换与映射 241

a.一般说明 241

练习3.3a 246

b.曲线坐标 246

c.推广到多于两个变量的情形 249

练习3.3b 249

练习3.3c 252

d.反函数的微商公式 252

练习3.3d 255

e.映射的符号乘积 258

练习3.3e 261

f.关于变换及隐函数组的逆的一般定理.分解成素映射 262

练习3.3f 267

g.用逐次逼近法迭代构造逆映射 267

练习3.3g 273

h.函数的相依性 273

练习3.3h 275

i.结束语 275

练习3.3i 277

a.曲面理论的要素 278

3.4 应用 278

练习3.4a 287

b.一般保角变换 288

练习3.4b 290

3.5 曲线族，曲面族，以及它们的包络 291

a.一般说明 291

练习3.5a 292

b.单参量曲线的包络 293

练习3.5b 296

c.例 296

练习3.5c 302

d.曲面族的包络 304

练习3.5d 306

3.6 交错微分型 308

a.交错微分型的定义 308

练习3.6a 310

b.微分型的和与积 311

练习3.6b 312

c.微分型的外微商 313

练习3.6c 316

d.任意坐标系中的外微分型 317

练习3.6d 326

3.7 最大与最小 326

a.必要条件 326

b.例 329

练习3.7b 331

c.带有附加条件的最大与最小 332

d.最简单情形下不定乘数法的证明 336

练习3.7c 336

练习3.7d 338

e.不定乘数法的推广 339

练习3.7e 342

f.例 343

练习3.7f 346

附录 348

A.1 极值的充分条件 348

练习 A.1 353

A.2 临界点的个数与向量场的指数 355

练习 A.2 362

A.3 平面曲线的奇点 362

练习 A.4 365

练习 A.3 365

A.4 曲面的奇点 365

A.5 流体运动的欧拉表示法与拉格朗日表示法之间的联系 366

练习 A.5 367

A.6 闭曲线的切线表示法与周长不等式 367

练习 A.6 369

解答 370

第四章 多重积分 453

4.1 平面上的面积 453

a.面积的若当测度的定义 453

b.一个没有面积的集合 456

c.面积的运算法则 458

a.作为体积的二重积分 460

练习4.1 460

4.2 二重积分 460

b.积分的一般分析概念 462

c.例 466

d.记号、推广、基本法则 468

e.积分估计与中值定理 469

4.3 三维及高维区域上的积分 472

4.4 空间微分、质量与密度 473

4.5 化重积分为累次单积分 474

a.在矩形上的积分 474

b.积分交换次序.积分号下求微分 477

c.在更一般的区域上化二重积分为单重积分 478

d.在多维区域中的推广 482

a.平面上的积分变换 484

4.6 重积分的变换 484

b.高于二维的区域 489

练习4.6 490

4.7 广义多重积分 492

a.有界集上函数的广义积分 493

b.广义积分一般收敛定理的证明 497

c.无界区域上的积分 499

练习4.7 502

4.8 在几何中的应用 503

a.体积的初等计算 503

b.体积计算的一般性附注.旋转体在球坐标系中的体积 505

c.曲面的面积 507

练习4.8 515

a.矩和质心 516

4.9 在物理中的应用 516

b.惯性矩 518

c.复合摆 520

d.吸引质量的势 523

练习4.9 526

4.10 在曲线坐标中的重积分 529

a.重积分的分解 529

b.应用到移动曲线扫过的面积和移动曲面扫过的体积.古鲁金公式.配极求积仪 532

4.11 任意维数的体积和曲面面积 537

a.高于三维的曲面面积和曲面积分 537

b.n维空间中的球体面积和体积 538

c.推广.参数表示 542

练习4.11 545

a.一致收敛性.对参数的连续依赖性 546

4.12 作为参数的函数的广义单积分 546

b.广义积分对参数的微分法和积分法 549

c.例 551

d.菲涅尔积分值的计算 556

练习4.12 557

4.13 傅立叶积分 559

a.引言 559

b.例 562

c.傅立叶积分定理的证明 564

d.傅立叶积分定理的收敛速度 567

e.傅立叶变换的巴色瓦等式 570

f.多元函数的傅立叶变换 572

a.定义和函数方程 579

练习4.13 579

4.14 欧拉积分(伽玛函数) 579

b.凸函数.波尔-摩尔路波定理的证明 581

c.伽玛函数的无穷乘积 585

d.延拓定理 589

e.贝塔函数 591

f.分数次微商和积分、阿贝尔积分方程 594

练习4.14 595

附录：积分过程的详细分析 598

A.1 面积 598

a.平面的分划和相应的内、外面积 598

b.若当可测集及其面积 600

c.面积的基本性质 602

A.2 多元函数的积分 607

a.函数/(x,y)的积分的定义 607

b.连续函数的可积性与在集合上的积分 609

c.重积分的基本法则 611

d.化重积分为累次单积分 614

A.3 面积与积分的变换 617

a.集合的映射 617

b.重积分的变换 622

A.4 关于曲面面积定义的附注 623

第五章 曲面积分和体积分之间的关系 626

5.1 线积分和平面上的重积分之间的联系(高斯，斯托克斯和格林的积分定理) 626

5.2 散度定理的向量形式.斯托克斯定理 633

5.3 二维分部积分公式.格林定理.散度定理 637

练习5.2 637

5.4 散度定理应用于重积分的变量替换 639

a.1-1映射的情形 639

b.积分的变量替换和映射度 642

5.5 面积微商，将△u变到极坐标的变换 646

5.6 用二维流动解释格林和斯托克斯公式 650

5.7 曲面的定向 655

a.三维空间中二维曲面的定向 656

b.在定向曲面上曲线的定向 666

练习5.7 668

5.8 曲面上微分形式和数量函数的积分 668

a.定向平面区域上的重积分 668

b.二阶微分形式的曲面积分 671

c.定向曲面上微分形式的积分和非定向曲面上数量函数的积分之间的关系 673

5.9 空间情形的高斯定理和格林定理 676

a.高斯定理 676

练习5.9a 680

b.高斯定理在流体流动中的应用 681

c.高斯定理在空间力和曲面力上的应用 683

d.分部积分和三维空间中的格林定理 686

e.应用格林定理把△∪变换成球坐标的形式 687

练习5.9e 689

5.10 空间斯托克斯定理 690

a.定理的叙述和证明 690

练习5.10a 693

b.斯托克斯定理的物理解释 694

练习5.10b 696

5.11 高维积分恒等式 702

附录：曲面和曲面积分的一般理论 704

A.1 三维空间中的曲面和曲面积分 704

a.基本曲面 704

b.函数在基本曲面上的积分 707

c.定向基本曲面 709

d.简单曲面 711

e.单位分解以及在简单曲面上的积分 714

A.2 散度定理 717

a.定理的叙述及其不变性 717

b.定理的证明 719

A.3 斯托克斯定理 722

a.基本曲面 725

A.4 在高欧氏空间中的曲面和曲面积分 725

b.微分形式在定向基本曲面上的积分 727

c.简单m维曲面 727

A.5高维空间中简单曲面上的积分，高斯散度定理和一般的斯托克斯公式 730

解答 733

第六章 微分方程 765

6.1 空间质点运动的微分方程 765

a.运动方程 765

b.能量守恒原理 767

c.平衡.稳定性 769

d.在平衡位置附近的小振动 771

e.行星运动 774

练习6.1e 780

f.边值问题.有载荷的缆与有载荷的梁 781

6.2 一般的一阶线性微分方程 787

a.分离变量法 787

b.一阶线性方程 789

练习6.2 791

6.3 高阶线性微分方程 792

a.叠加原理.解通 792

b.二阶齐次微分方程 796

练习6.3b 798

c.非齐次微分方程.参数变易法 800

练习6.3c 803

6.4 一般的一阶微分方程 805

a.几何解释 805

b.曲线族的微分方程.奇解.正交轨线 807

c.解的存在唯一性定理 809

练习6.4 813

6.5 微分方程组和高阶微分方程 816

练习6.5 817

6.6 用待定系数法求积分 818

练习6.6 819

6.7 电荷引力的位势和拉普拉斯方程 820

a.质量分布的位势 820

b.位势的微分方程 824

c.均匀双层位势 825

d.平均值定理 828

e.圆的边值问题.普洼松(Poisson)积分 829

6.8 来自数学物理的偏微分方程的其它例子 832

a.一维波动方程 832

练习6.7 832

b.三维空间的波动方程 834

c.自由空间中的马克斯韦耳(Maxwell)方程 836

练习6.8 839

第七章 变分学 842

7.1 函数及其极值 842

7.2 泛函极值的必要条件 846

a.第一变分等于零 846

练习7.2a 847

b.欧拉微分方程的推导 847

c.基本引理的证明 851

d.一些特殊情形的欧拉微分方程的解.例子 852

习题7.2d 855

e.欧拉表达式恒等于零的情形 856

7.3 推广 857

a.具有多于一个自变函数的积分 857

b.例子 859

习题7.3b 861

c.哈密尔顿原理.拉格朗日方程 861

d.含高阶导数的积分 863

e.多自变量 864

7.4 含附带条件的问题.拉格朗日乘子 866

a.通常的附带条件 866

习题7.4a 868

b.其他类型的附带条件 869

习题*7.4b 870

a.极限.复数项的无穷级数 872

第八章 单复变函数 872

8.1 幂级数表示的复函数 872

b.幂级数 875

c.幂级数的微分法和积分法 876

d.幂级数的例子 879

8.2 单复变函数一般理论的基础 880

a.可微性条件 880

b.微分学的最简单运算 883

c.保角变换.反函数 886

8.3 解析函数的积分 887

a.积分的定义 887

b.柯西定理 889

c.应用.对数函数，指数函数及一般幂函数 891

a.柯西公式 895

8.4 柯西公式及其应用 895

b.解析函数的幂级数展式 896

c.函数论与位势理论 899

d.柯西定理的逆定理 899

e.解析函数的零点，极点和留数 900

8.5 留数定理对复积分(围道积分)的应用 902

a.证明公式 902

b.证明公式 903

c.留数字理对于有理函数的积分的应用 904

d.留数定理与常系数微分方程 907

8.6 多值函数与解析开拓 908

问题(8.1--8.5) 912

解答 921