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第一部分 代数理论 1

第一章 代数数域和代数整数环 1

1 代数数域 1

2 代数整数环 16

第二章 整数环中的素理想分解 30

1 分解的存在惟一性 30

2 分歧指数，剩余类域次数和分裂次数 44

3 伽罗瓦扩域中的素理想分解 65

4 Kronecker-Weber定理 82

1 类群和类数 94

第三章 理想类群和单位群 94

2 Dirichlet单位定理 112

第二部分 解析理论 130

第四章 ζ(s)，L(s,x)和ζK(s) 130

1 Dirichlet级数的一般理论 130

2 Riemann zeta函数ζ(s)和DirichletL-函数L(s,x) 145

3 Dedekind zeta函数ζK(s) 172

第五章 密度问题 186

1 Dirichlet密度 188

2 Abel L-函数，Чеботбр？ь密度定理 195

第六章 Abel数域的类数公式 204

1 Hasse类数公式 204

2 二次域的类数公式 215

3 分圆域的类数公式，Kummer的结果 220

第三部分 局部域量论 233

第七章 赋值和赋值域 233

1 从例子谈起：p进赋值 233

2 赋值和赋值域 241

3 离散赋值域 252

4 分歧指数和剩余类域次数 259

第八章 完备化和赋值的扩充 265

1 完备赋值域 265

2 Hensel引理、牛顿逼近和牛顿折线 273

3 赋值的扩充(完备情形) 285

4 不分歧扩张和完全分歧扩张 292

5 数域和它的局部化 298

第九章 应用举例 308

1 关于费马猜想的Kummer定理(第2种情形) 308

2 有限域上多项式的零点 323

3 有理数域上的二次型 339

4 p进分析 353

5 组合数学 374

结语：20世纪的数论：皇后与仆人 389

附录A 关于群、环、域的一些知识 403

附录B 进一步学习的建议 415