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第一章 微分方程问题的提出 1

1.1 引言 1

1.2 一些常见的微分方程问题 1

一、自由落体运动的规律 1

一、全微分方程 2

二、单摆运动 2

三、真空中的抛射体运动 4

四、深水炸弹的水下运动 5

五、电容器的放电规律 6

六、质量和能量之间转换关系的规律 7

七、运载火箭的运动规律 8

八、行星运动规律和万有引力定律 9

九、人造地球卫星的运动规律 13

十、导弹的导引规律 14

1.3 讨论意见 16

第二章 微分方程的初等解法 18

2.1 引言 18

2.2 ？=f(t)型微分方程 20

一、f(t)为连续函数情况 21

二、f(t)有间断点，且在断点趋于无穷 22

三、例 23

2.3 ？-f(у)型微分方程 25

一、f(у)在其定义区间内连续且不为零 26

二、f(у)在其定义区间内某？处为零 26

三、例 26

2.4 分离变量型的微分方程 28

一、g(у)≠0，？у∈(a1,a2)的情况 28

二、g(?)=0,？∈(a1,a2),g(y)≠0，？y≠？的情况 29

三、例 29

2.5 齐次型微分方程 30

二、h(ū)=ú的情况 31

一、h(u)在其定义区间内连续，且h(u)≠u 31

三、例 33

2.6 ？=f(at+by)型微分方程 35

一、例 35

2.7 ？=f(？)型微分方程 36

一、a1t+b1y+c1=0与a2t+b2y+c2=0的共同解的情况 36

二、a1t+b1y+c1=0与a2t+b2y+c2=0无共同解的情况 37

三、例 37

2.8 一阶线性微分方程 38

一、b(t)在(t1,t2)内恒为零的情况 38

二、b(t)在(t1,t2)内不恒为零的情况 38

三、例 39

2.9 P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0型微分方程 42

二、积分因子 44

三、例 46

一、克莱洛型方程 50

2.10 克莱洛方程和拉格朗日方程 50

二、拉格朗日型方程 51

三、例 52

2.11 某些特殊的二阶微分方程 54

一、F中不显含y 54

二、F中不显含t 55

三、例 56

第三章 微分方程解的存在和唯一 59

3.1 引言 59

3.2 微分方程解的局部存在性和唯一性 61

3.3 微分方程解的延拓 67

3.4 微分方程的解对参数和初值的关系 70

一、解对参数的连续依赖性 71

二、解对参数的可微性 74

三、解对初值的连续性与可微性 79

3.5 微分方程的变分方程 82

一、参数扰动引起的微分方程的扰动 83

二、扰动微分方程的解的一次近似表示 83

三、扰动微分方程的解的二次近拟表示 85

第四章 线性微分方程 90

4.1 引言 90

4.2 线性齐次矢量微分方程 91

一、线性齐次矢量微分方程初值问题的解的表示式 91

二、阵值函数Φ(t；to)的性质 94

三、线性齐次矢量微分方程的基本解矩阵 97

四、线性齐次矢量微分方程的通解 100

4.3 线性非齐次矢量微分方程 103

一、线性非齐次矢量微分方程初值问题的解的表示式 103

二、线性非齐次矢量微分方程的初值问题的解的性质 105

三、线性非齐次矢量微分方程的通解 107

4.4 线性常系数矢量微分方程 108

一、状态转移矩阵eAt的性质 111

二、SAS-1的几种常见的形式 112

三、状态转移矩阵eAt的构成 117

四、线性齐次常系数矢量微分方程解的性质 124

4.5 线性矢量微分方程的解法 129

一、求解线性齐次矢量微分方程的待定常数法 129

二、求解线性非齐次矢量微分方程的待定常数法 132

三、高阶线性定常微分方程的解法 135

四、欧拉方程 137

第五章 稳定性 139

5.1 引言 139

5.2 微分方程解的稳定性 141

一、李雅普诺夫意义下解的稳定性 141

二、微分方程解的扰动和线性齐次方程的稳定性 145

三、线性定常矢量微分方程解的稳定性 148

四、线性非定常矢量微分方程解的稳定性 155

一、正定函数及其有关性质 162

5.3 李雅普诺夫第二方法 162

二、李雅普诺夫直接方法及主要结果 165

三、线性定常矢量微分方程的李雅普诺夫函数 173

四、线性定常矢量微分方程解的过渡过程时间tp的估计 178

5.4 一次近似理论 182

一、线性化微分方程 182

二、从A的本征值的状况判别方程的解的稳定性 185

三、非线性微分方程的李雅普诺夫函数 191

5.5 关于大范围(全局)稳定性的某些结果 194

一、矢值函数及其雅可比矩阵的有关性质 194

二、非线性矢量微分方程大范围稳定性定理 196

三、非线性矢量微分方程解的过渡过程时间的估计 199

第六章 二阶矢量微分方程解的性态 201

6.1 引言 201

6.2 二阶矢量微分方程的常点和奇点 202

一、常点和奇点的有关性质 203

二、无切线段的主要性质 204

三、微分方程的解在常点附近的性态 206

6.3 二阶矢量微分方程的奇点 209

一、齐次微分方程的一次奇点及其分类 209

二、微分方程的解(轨线)在一次奇点附近的性态 220

三、微分方程的非一次奇点 223

6.4 微分方程的极限环 228

一、微分方程的周期解 229

二、微分方程的轨线在极限环附近的性态 233

三、极限环存在的判别法 237

参考资料 250

附录一 252

附录二 252

附录三 254

附录四 263