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第一部分 泛函分析 1

第一章 分布理论 1

1.0. 引言 1

1.1. 弱导数 1

1.2. 试验函数 3

1.3. 分布的定义和基本性质 6

1.4. 分布的微分法及以函数相乘 11

1.5. 具紧支集的分布 15

1.6. 分布的卷积 19

1.7. 分布的Fourier变换 24

1.8. 流形上的分布 34

第二章 某些特殊的分布空间 44

2.0. 引言 44

2.1. 缓增权函数 46

2.2. 空间？p,k 49

2.3. 空间？ 58

2.4. 空间？(s) 62

2.5. 空间？(m,s) 69

2.6. 当Ω为流形时的空间？(Ω) 77

3.0. 引言 85

第三章 微分方程的解的存在及逼近 85

第二部分 常系数微分算子 85

3.1. 基本解的存在 86

3.2. 当f∈？时的方程p(D)u=f 93

3.3. 微分算子的比较 96

3.4. 齐次微分方程的解的逼近 102

3.5. 当f属于？F的局部子空间时的方程p(D)u=f 107

3.6. 当f∈？时的方程p(D)u=f 111

3.7. P凸性及强P凸性的几何意义 118

3.8. 微分算子组 124

4.0. 引言 127

第四章 微分方程的解的内部正则性 127

4.1. 亚椭圆型算子 129

4.2. 部分亚椭圆型算子 137

4.3. 在边界的部分亚椭圆性 141

4.4. 高阶导数的估计 143

第五章 Cauchy问题(常系数) 152

5.0. 引言 152

5.1. 解析情形的古典存在理论 153

5.2. 特征Cauchy问题的非唯一性 159

5.3. Holmgren唯一性定理 162

5.4. 双曲性对非特征Cauchy问题解之存在的必要性 172

5.5. 双曲型多项式的代数性质 174

5.6. 双曲型方程的Cauchy问题 180

5.7. 全局唯一性定理 187

5.8. 特征Cauchy问题 199

第三部分 变系数微分算子 205

第六章 无解的微分方程 205

6.0. 引言 205

6.1. 非存在性条件 205

6.2. 值域的一些性质 218

7.0. 引言 223

第七章 定强微分算子 223

7.1. 定义及基本性质 224

7.2. 当系数仅仅连续时的存在定理 226

7.3. 当系数属C∞时的存在定理 228

7.4. 亚椭圆性 231

7.5. 椭圆型方程的解的解析性 233

第八章 具单特征的微分算子 236

8.0. 引言 236

8.1. 主要估计的必要条件 237

8.2. 微分二次型 245

8.3. 椭圆型算子的估计 249

8.4. 实系数算子的估计 253

8.5. 主规范算子的估计 262

8.6. 拟凸性 267

8.7. ？(s)中的估计、存在及逼近定理 273

8.8. 奇性的唯一延拓 285

8.9. Cauchy问题的唯一性 294

第九章 Cauchy问题(变系数) 301

9.0. 引言 301

9.1. 预备性引理 302

9.2. 基本的L2估计 307

9.3. Cauchy问题的存在理论 311

第十章 椭圆型边界问题 317

10.0. 引言 317

10.1. 椭圆型边界问题的定义 318

10.2. 有关常微分算子的准备 323

10.3. 参函数的构造 325

10.4. 椭圆型边界问题的局部理论 332

10.5. 具边界的紧流形上的椭圆型边界问题 338

10.6. 各种推广及注 349

附录 一些代数引理 359

参考文献 365