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绪论 实数 1

1. 有理数域 1

1. 前言 1

2. 有理数域的顺序 2

3. 有理数的加法及减法 2

4. 有理数的乘法及除法 4

5. 阿基米德公理 6

2. 无理数的导入·实数域的顺序 7

6. 无理数的定义 7

7. 实数域的顺序 10

8. 辅助命题 11

9. 用无尽小数来表示实数 12

10. 实数域的连续性 14

11. 数集的界 16

3. 实用的算术运算 18

12. 实数的和的定义 18

13. 加法的和性质 19

14. 实数的积的定义 21

15. 乘法的性质 22

16. 结论 24

17. 绝对值 25

4. 实数的其他性质及应用 26

18. 根的存在·以有理数为指数的幂 26

19. 以任意实数为指数的幂 27

20. 对数 30

21. 线段的度量 31

第一章 极限论 34

1. 整序变量及其极限 34

22. 变量、整序变量 34

23. 整序变量的极限 37

24. 无穷小量 38

25. 例题 39

26. 关于有极限的整序变量的一些定理 43

27. 无穷大量 45

2. 极限的定理·若干容易求得的极限 47

28. 对等式及不等式取极限 47

29. 关于无穷小的预备定理 49

30. 变量的算术运算 50

31. 不定式 52

32. 极限求法的例题 55

33. 施笃茲定理及其应用 59

3. 单调整序变量 62

34. 单调整序变量的极限 62

35. 例题 64

36. 数e 69

37. 数e的近似计算法 71

38. 关于区间套的预备定理 74

4. 收敛原理·部分极限 76

39. 收敛原理 76

40. 部分数列及部分极限 78

41. 波查诺-魏施德拉司预备定理 79

42. 上限及下限 81

第二章 一元函数 85

1. 函数概念 85

43. 变量及其变动区域 85

44. 变量间的函数关系，例题 86

45. 函数概念的定义 87

46. 函数的解析表示法 90

47. 函数的圆线 92

48. 几类最重要的函数 94

49. 反函数的概念 99

50. 反三角函数 101

51. 函数的叠置·总结 106

2. 函数的极限 107

52. 函数的极限的定义 107

53. 变成整序变量的情形 109

54. 例题 112

55. 极限理论的拓广 120

56. 例题 123

57. 单调函数的极限 125

58. 波查诺-柯希的一般判定法 126

59. 函数的上限及下限 128

3. 无穷小及无穷大的分级 128

60. 无穷小的比较 128

61. 无穷小的尺度 129

62. 等价无穷小 131

63. 主部的分出 133

64. 应用题 135

65. 无穷大的分级 137

4. 函数的连续性及间断 137

66. 函数在一点处的连续性的定义 137

67. 连续函数的算术运算 139

68. 连续函数的例题 140

69. 单方连续·间断的分类 142

70. 间断函数的例题 143

71. 单调函数的连续性及间断 146

72. 初等函数的连续性 147

73. 连续函数的叠置 149

74. 一个函数方程的解 149

75. 指数函数、对数函数及幂函数的函数特性 151

76. 三角余弦及双曲余弦的函数特性 152

77. 函数的连续性在计算极限时的应用 154

78. 幂指数式 157

79. 例题 158

5. 连续函数的性质 160

80. 关于函数取零值的定理 160

81. 应用于解方程 163

82. 介值定理 163

83. 反函数的存在 165

84. 关于函数的有界性的定理 167

85. 函数的最大值及最小值 168

86. 均匀连续的概念 170

87. 康托定理 172

88. 薄莱尔预备定理 173

89. 基本定理的新证明 175

第三章 导数及微分 179

1. 导数及其求法 179

90. 求动点速度的问题 179

91. 在曲线上作切线的问题 180

92. 导数的定义 182

93. 求导数的例题 186

94. 反函数的导数 190

95. 导数公式一览表 192

96. 函数的增量的公式 193

97. 求导数的几个简单法则 194

98. 复合函数的导数 196

99. 例题 197

100. 单方导数 203

101. 无穷导数 204

102. 特殊情形的例题 205

2. 微分 206

103. 微分的定义 206

104. 可微性与导数存在之间的关系 207

105. 微分法的基本公式及法则 209

106. 微分的形式不变性 211

107. 微分是近似公式的来源 213

108. 应用微分来估计误差 215

3. 微分学的基本定理 217

109. 费马定理 217

110. 达布定理 219

111. 洛尔定理 220

112. 拉格朗奇公式 221

113. 导数的极限 223

114. 柯希公式 225

4. 高阶导数及高阶微分 226

115. 高阶导数的定义 226

116. 任意阶导数的普遍公式 228

117. 莱伯尼茲公式 232

118. 例题 234

119. 高阶微分 236

120. 高阶微分的形式不变性的破坏 237

121. 参变量微分法 238

122. 有限差分 240

5. 戴劳公式 242

123. 多项式的戴劳公式 242

124. 任意函数的展开式·余项的皮亚诺式 244

125. 例题 247

126. 余项的其他形式 251

127. 近似公式 254

6. 插值法 260

128. 插值法的最简单问题·拉格朗奇公式 260

129. 拉格朗奇公式的余项 261

130. 有重基点的插值法·埃尔密特公式 263

第四章 利用导数研究函数 265

1. 函数的动态的研究 265

131. 函数为常数的条件 265

132. 函数为单调的条件 267

133. 不等式的证明 270

134. 极大值及极小值·必要条件 273

135. 充分条件·第一法则 275

136. 例题 277

137. 第二法则 281

138. 高阶导数的应用 283

139. 最大值及最小值的求法 285

140. 应用题 287

2. 凸(与凹)函数 291

141. 凸(与凹)函数的定义 291

142. 关于凸函数的简单命题 292

143. 函数凸性的条件 295

144. 颜森不等式及其应用 298

145. 拐点 301

3. 函数的作图 303

146. 问题的提出 303

147. 作图的步骤·例题 304

148. 无穷间断·无穷区间·渐近线 307

149. 例题 310

4. 不定式的定值法 313

150. 0/0型不定式 313

151. ∞/∞型不定式 319

152. 其他型的不定式 321

5. 方程式的近似解 323

153. 导言 323

154. 比例法则(弦线法) 324

155. 牛顿法则(切线法) 327

156. 例题及习题 329

157. 联合法 334

158. 例题及习题 334

字义索引 1

人名对照表 4