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序言 1

本书采用记号 1

第一章 拓扑学的原始概念 3

1 什么是拓扑学？ 4

2 空间及函数概念的推广 10

1.度量空间 10

2.收敛序列及连续映射 12

3 从度量空间到拓扑空间 14

1.“粘合”的方法 14

2.拓扑空间的概念 17

3.二维曲面的粘合 19

4 Riemann面的概念 26

5 介绍一点扭结理论 34

进一步的读物 36

第二章 一般拓扑学 41

1 拓扑空间及连续映射 42

1.拓扑空间的定义 42

2.邻域 45

3.连续映射 同胚 46

4.拓扑空间的子空间 48

2 度量空间上的拓扑和连续映射.空间Rn,Sn-1和Dn 49

1.度量空间上的拓扑 49

2.空间Rn 51

3.球Dm同胚于Rm 55

3 商空间及商拓扑 57

1.商拓扑的定义 57

2.商空间的例子 58

3.商空间的映射 60

4 曲面的分类 63

1.曲面及其三角剖分 63

2.曲面的展开图 65

3.展开图的分类 67

4.曲面的Euler示性数及拓扑分类 72

1.轨道空间的定义 75

5 轨道空间：射影空间和透镜空间 75

2.射影空间RPn,CPn 76

3.透镜空间 77

6 拓扑空间中集合的运算 78

1.集合的闭包 78

2.集合的内部 80

3.集合的边界 81

7 度量空间中集合的运算、球和球面、完备性 82

1.度量空间中集合的运算 82

2.Rn中的球和球面 84

3.任意度量空间中的球和球面 85

4.度量空间的完备性 86

1.连续映射的等价定义 87

8 连续映射的性质 87

2.连续映射的三个问题 89

9 拓扑空间的乘积 92

1.空间直积的拓扑 92

2.积空间中的连续映射 95

10 拓扑空间的连通性 97

1.拓扑空间的连通性概念 97

2.连通空间的性质 99

3.连通分支 102

1.可数性公理 103

11 可数性公理与分离性公理 103

2.空间的分离性 106

12 正规空间与函数分离性 108

1.正规空间的等价定义 108

2.函数分离性.数值函数扩张的Urysohn定理 109

13 紧致空间及其映射 113

1.紧致空间的概念 113

2.紧致空间的映射 119

3.紧致空间的积 121

4.度量空间的紧致性 122

1.紧扩张 124

14 拓扑空间的紧扩张、度量化 124

2.拓扑空间的可度量性 127

进一步的读物 128

第三章 同伦论 133

1 映射空间、同伦、保核收缩、形变 134

1.连续映射空间 134

2.同伦 136

3.映射的扩张 138

4.保核收缩 140

5.映射柱面 141

1.范畴 143

2 范畴，函子及拓扑问题的代数化 143

2.函子 145

3 同伦群函子 147

1.空间的同伦群 147

2.基本群 154

4 一些空间的基本群与同伦群的计算 160

1.曲面上的逐段线性道路及其组合同伦 160

2.道路与同伦的组合逼近 163

3.圆的基本群 166

4.曲面的基本群 168

5.曲面Euler示性数的拓扑不变性 171

6.高阶同伦群的计算 172

8.映射度 175

7.一些应用 175

进一步的读物 178

第四章 流形与纤维丛 181

1 n维空间微分学的基本概念 182

1.光滑映射 182

2.映射的秩 183

3.隐函数定理 184

4.《曲线》坐标系 185

5.平直化定理 186

6.关于光滑函数表达式的一个引理 190

1.RN中光滑子流形的概念 191

2 欧氏空间中的光滑子流形 191

2.子流形的例子 193

3 光滑流形 196

1.光滑流形的概念 196

2.射影空间 201

3.诱导结构 204

4.矩阵流形 205

5.Grassmann流形 206

6.积流形 208

7.Riemann曲面 208

8.形态空间 209

9.带边流形 210

4 流形上的光滑函数与(光滑)单位分解 211

1.流形上的光滑函数概念 211

10.光滑结构的存在性 211

2.单位分解 213

3.流形上Cr-函数的代数 217

5 流形的映射 220

1.光滑映射的概念 220

2.光滑映射的正则点与非正则点、浸入、浸没、嵌入、子流形 222

3.Sard定理.模2的映射度概念 228

1.切空间的思想 230

2.流形的切空间概念 230

6 切从与切映射 230

3.切丛 235

4.Riemann度量 238

5.切映射 239

6.流形的定向 242

7 作为微分算子的切向量 函数的微分和余切丛 244

1.向量的新定义 244

2.切丛 246

3.切映射 250

4.函数的微分和余切丛 251

8 光滑流形上的向量场 254

1.光滑道路的切向量 255

2.物理系统的动力学群与其无穷小生成元 256

3.光滑向量场 257

4.向量场的Lie代数 259

5.余向量场 260

9 纤维丛和覆迭 261

1.预备性的例 261

2.纤维丛的定义 262

3.向量丛 265

4.覆迭 267

5.分枝覆迭 286

10 流形上的光滑函数.流形的胞腔结构(例) 290

1.环面上函数的例 290

2.胞腔复形 292

11 非退化临界点及其指标 295

1.非退化临界点 295

2.Morse引理 296

3.梯度场 299

12 用临界值描述流形的伦型 300

1.光滑函数Lebesgue集的结构 300

2.Lebesgue集的同伦等价性条件 301

3.经过临界值时伦型的变化 301

4.流形的伦型 305

进一步的读物 307

第五章 同调理论 311

1 引言 312

2 链复形的同调群 314

3 单纯复形的同调群 317

1.单纯复形和多面体 317

2.单纯复形和多面体的同调群 319

3.具体多面体的同调群计算 321

4.重心重分 单纯映射 328

4 奇同调理论 331

1.奇同调群 331

2.奇同调群的性质 333

3.同调与同伦 341

5 同调理论公理 342

1.球面的同调群 346

6 球面的同调、映射度 346

2.映射度 351

7 胞腔复形的同调群 355

8 Euler示性数与Lefschetz数 359

1.单形映射的Lefschetz数 359

2.连续映射的Lefschetz数 363

3.流形的Euler示性数与向量场的奇点 365

进一步的读物 367

参考文献 370

名词索引 376

人名索引 394