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符号说明 1

第一章 赋范线性空间 1

1.1 线性空间 1

前言 1

1.2 内积与内积空间 11

1.3 范数与赋范线性空间 16

1.4 收敛性 22

1.收敛 22

2.闭集与开集 24

3.映射的连续性 28

1.5 稠与可分性 30

1.6 空间完备性·Banach 空间 31

1.列紧性 40

1.7 紧性与有限维空间 40

2.范数的等价性 42

3.有限维赋范线性空间的紧性刻画 45

1.8 有限维赋范线性空间的最佳逼近问题 47

1.9 Banach 不动点原理 54

1.10 补遗——商空间 64

习题 66

第二章 Hilbert 空间的几何与最佳逼近问题 71

2.1 正交与正交补 71

2.2 闭凸集的最佳逼近问题与正交分解 73

2.3 正交集与 Fourier 级数 81

1.正交集与 Gram-Schmidt 正交化方法 81

2.Fourier 级数 83

2.4 可分的 Hilbert 空间及其同构性 90

习题 92

第三章 线性算子的一般理论 94

3.1 有界线性算子 94

1.线性算子与线性泛函 94

2.线性算子的连续性与有界性 96

3.2 有界线性算子空间 105

1.有界线性算子空间 105

2.一致算子收敛与强算子收敛 107

3.算子的乘积 108

3.3 一致有界原理 109

3.4 逆算子定理·开映射定理 116

3.5 闭线性算子与闭图象定理 121

3.6 有界线性算子的谱理论 125

习题 132

第四章 线性泛函延拓与凸集分离 136

4.1 Hahn-Banach 定理的解析形式 136

1.线性泛函延拓定理 136

2.有界线性泛函保范延拓定理及其推论 139

3.子空间逼近的对偶关系 144

4.2 Hahn-Banach 定理的几何形式 146

1.Minkowski 泛函 146

2.超平面与线性泛函 149

3.凸集的分离性 152

4.闭凸集逼近的对偶关系 157

5.带不等式约束的凸规划问题 160

习题 164

第五章 弱收敛与共轭算子 166

5.1 共轭空间 166

5.2 Hilbert 空间的自共轭性 174

5.3 二次共轭空间与空间自反性 176

5.4 弱收敛 178

1.弱收敛与弱*收敛 179

2.弱*列紧 183

5.5 Hilbert 共轭算子 185

5.6 共轭双线性泛函与 Lax-Milgram 定理 191

5.7 赋范线性空间中的共轭算子 196

习题 199

6.1 赋范线性空间中集的紧性 202

第六章 紧线性算子及其谱性质 202

6.2 Schauder 不动点原理 209

6.3 紧线性算子的概念与基本性质 213

6.4 紧线性算子的谱 218

1.含紧线性算子的线性方程的可解性 218

2.紧线性算子的谱性质 228

3.Fredholm 积分方程的择一律 230

6.5 自共轭算子与紧自共轭算子的谱性质 232

习题 239

附录Ⅰ 复习与补充知识 241

Ⅰ.1 集及其运算 241

Ⅰ.2 映射 245

Ⅰ.3 可数集 248

Ⅰ.4 上、下确界与上、下极限 252

1.实数集的上、下确界 252

2.实数列的上、下极限 253

Ⅰ.5 H?lder 不等式与 Minkowski 不等式 255

附录Ⅱ Lebesgue 积分理论 256

Ⅱ.1 阶梯函数空间φ1 256

1.阶梯函数 256

2.阶梯函数的积分 257

3.阶梯函数空间φ1 259

Ⅱ.2 Lebesgue 积分 265

1.Lebesgue 积分的概念 265

2.Lebesgue 积分的基本性质 267

3.L?[a，b]空间的完备性 270

4.积分收敛定理 271

5.Riemann 可积函数必 Lebesgue 可积 277

Ⅱ.3 LP[a，b]空间 279

1.可测函数 279

2.P方L-可积函数 280

3.Lp[a，b]空间的完备性 283

Ⅱ.4 补充 285

1.无限区间上的 Lebesgue 积分 285

2.复值函数的 Lebesgue 积分 285

3.L2[a，b]空间是 Hilbert 空间 286

4.二重 Lebesgue 积分 Fub?ni 定理 286

参考书目 288

索引 289