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第一章 矢量代数 1

1.1 引言 1

1.2 矢量的定义 2

1.3 矢量的几何表示 5

1.4 矢量加法 矢量与标量相乘 9

1.5 在几何学中的一些应用 19

1.6 标积 23

1.7 矢积 32

1.8 直线方程和平面方程 44

1.9 三重标积与三重矢积 53

第二章 单变量矢量函数的微分 62

2.1 实变量矢量函数 62

2.2 矢量函数代数 63

2.3 极限、连续性和导数 67

2.4 空间曲线和切线矢量 74

2.5 用弧长作参量 82

2.6 曲率、主法线矢量和副法线矢量 86

2.7 挠率和富列耐-塞勒公式 96

2.8 在曲线运动中的应用 101

2.9 极坐标中的速度和加速度 109

2.10 柱面坐标系和球面坐标系 117

第三章 标量场和矢量场的微分 125

3.1 标量场和矢量场 125

3.2 矢量场代数 129

3.3 标量场的方向导数 133

3.4 标量场的梯度 139

3.5 矢量场的方向导数 148

3.6 矢量场的散度 153

3.7 矢量场的旋度 160

3.8 散度和旋度的其他性质 165

3.9 直角笛卡儿坐标系间的变换 169

3.10 梯度、散度和旋度的不变性 181

3.11 曲线坐标系 187

3.12 在正交曲线坐标系中的梯度、散度和旋度 199

第四章 标量场和矢量场的积分 207

4.1 标量场的线积分 207

4.2 矢量场的线积分 215

4.3 线积分的性质 222

4.4 与路径无关的线积分 229

4.5 与路径无关性的判断 238

4.6 平面中的格林定理 248

4.7 多连通区域中的格林定理 254

4.8 曲面的参数表示 光滑和可定向曲面 259

4.9 曲面面积 268

4.10 面积分 275

4.11 散度(高斯)定理 287

4.12 散度定理的应用 292

4.13 斯托克斯定理 301

4.14 斯托克斯定理的应用 306

第五章 在直角笛卡儿坐标系中的张量 310

5.1 引言 310

5.2 记号和求和惯则 311

5.3 矢量的变换规律 313

5.4 笛卡儿张量 320

5.5 应力张量 329

5.6 笛卡儿张量代数 338

5.7 二阶张量的主轴 346

5.8 笛卡儿张量场的微分 353

5.9 应变张量 357

第六章 在一般坐标系中的张量 364

6.1 斜角笛卡儿坐标系 364

6.2 斜角坐标系间的变换 368

6.3 在斜角笛卡儿坐标系中的张量 375

6.4 斜角坐标系的张量代数 384

6.5 度规张量 389

6.6 曲线坐标系间的变换 局域基矢 400

6.7 一般张量 407

6.8 矢量的协变导数 416

6.9 克里托斯费尔符号的变换及其与度规张量的关系 424

6.10 张量的协变导数 431

6.11 一般坐标中的梯度、散度、拉普拉斯算符和旋度 434

6.12 粒子的运动方程 441

习题答案 451

索引 495