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1.1 基本概念和定义 1

第一章 绪论 1

1.2 线性算子 4

1.3 定解问题 6

1.4 迭加原理 7

第一章习题 10

第二章 数学模型 12

2.1 典型方程 12

2.2 弦的振动 12

2.3 膜的振动 14

2.4 在弹性介质中的波 16

2.5 在固体中的热传导 19

2.6 引力势 21

第二章习题 23

3.1 两个自变量的二阶方程 25

第三章 二阶方程的分类 25

3.2 标准形式 27

3.3 常系数方程 33

3.4 通解 37

3.5 小结与进一步的简化 38

第三章习题 40

第四章 柯西问题 42

4.1 柯西问题 42

4.2 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理。阿达玛的例子 45

4.3 齐次波动方程的柯西问题 46

4.4 初边值问题 53

4.5 非齐次波动方程的柯西问题 58

4.6 黎曼方法 61

7.3 贝塞尔函数 62

第四章习题 67

第五章 傅里叶级数 70

5.1 分段连续函数 70

5.2 偶函数和奇函数 73

5.3 周期函数 75

5.4 正交性 76

5.5 傅里叶级数 77

5.6 平均收敛。完备性 80

5.7 傅里叶级数的例题 81

5.8 余弦级数和正弦级数 86

5.9 复数形式的傅里叶级数 90

5.10 区间的变换 91

5.11 傅里叶级数的逐点收敛性 94

5.12 傅里叶级数的一致收敛性 99

5.13 傅里叶级数的微分法和积分法 101

5.14 二重傅里叶级数 106

第五章习题 108

第六章 分离变量法 114

6.1 分离变量 114

6.2 弦振动问题 118

6.3 弦振动问题解的存在性和唯一性 123

6.4 热传导问题 129

6.5 热传导问题解的存在性和唯一性 132

6.6 拉普拉斯方程和梁的方程 136

6.7 非齐次问题 139

6.8 有限傅里叶变换 142

第六章习题 147

第七章 本征值问题 152

7.1 斯图姆-刘维尔问题 152

7.2 本征函数 156

7.4 奇异斯图姆-刘维尔问题 168

7.5 勒让德函数 171

7.6 常微分方程边值问题和格林函数 176

7.7 格林函数的构造 181

7.8 广义格林函数 185

7.9 本征值问题和格林函数 186

第七章习题 188

第八章 边值问题 193

8.1 边值问题 193

8.2 最大值和最小值原理 195

8.3 唯一性和稳定性定理 197

8.4 圆的狄利克莱问题 198

8.5 圆环的狄列克莱问题 204

8.6 圆的诺依曼问题 205

8.7 矩形的狄利克莱问题 207

8.8 泊松方程的狄利克莱问题 210

8.9 矩形的诺依曼问题 213

第八章习题 216

第九章 高维问题 221

9.1 立方体的狄利克莱问题 221

9.2 圆柱体的狄利克莱问题 223

9.3 球的狄利克莱问题 227

9.4 波动方程和热传导方程 232

9.5 膜的振动 233

9.6 矩形板的热传导 234

9.7 三维空间的波 236

9.8 长方体中的热传导 238

9.9 氢原子 239

9.10 用本征函数法解非齐次问题 243

9.11 膜的受迫振动 243

9.12 与时间有关的边界条件 246

第九章习题 249

10.1 δ函数 255

第十章 格林函数 255

10.2 格林函数 256

10.3 格林函数法 258

10.4 拉普拉斯算子的狄利克莱问题 260

10.5 亥姆霍兹算子的狄利克莱问题 263

10.6 静电源象法 264

10.7 本征函数法 267

10.8 高维问题 270

10.9 诺依曼问题 273

第十章习题 275

第十一章 积分变换 279

11.1 傅里叶变换 279

11.2 傅里叶变换的性质 285

11.3 卷积及其傅里叶变换 289

11.4 阶梯函数和脉冲函数的傅里叶变换 292

11.5 半无限区域 295

11.6 汉克尔变换和梅林变换 297

11.7 拉普拉斯变换 297

11.8 拉普拉斯变换的性质 299

11.9 卷积及其拉普拉斯变换 303

11.10 阶梯函数和脉冲函数的拉普拉斯变换 306

11.11 格林函数 313

第十一章习题 315

附录 321

A.1 伽马函数 321

A.2 傅里叶变换表 322

A.3 拉普拉斯变换表 323

参考书目 324

习题答案 330

中文主题索引 347