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第一章 度量空间 1

1 压缩映象原理 1

2 完备化 10

3 列紧集 14

4 线性赋范空间 20

4.1 线性空间 21

4.2 线性空间上的距离 22

4.3 范数与Banach空间 26

4.4 线性赋范空间上的模等价 31

4.5 应用(最佳逼近问题) 34

4.6 有穷维B空间的刻划 37

5 凸集与不动点 43

5.1 定义与基本性质 43

5.2 Brouwer与Schauder不动点定理 49

5.3 应用 51

6 内积空间 53

6.1 定义与基本性质 53

6.2 正交与正交基 59

6.3 正交化与Hilbert空间的同构 64

6.4 再论最佳逼近问题 66

6.5 应用 69

最小二乘法 69

曲线光顺与样条函数 71

第二章 线性算子与线性泛函 78

1 线性算子的概念 78

1.1 线性算子和线性泛函的定义 78

1.2 线性算子的连续性和有界性 79

2 Riesz定理及其应用 83

Laplace方程-△#=∫狄氏边值问题的弱解 85

变分不等式 87

3 纲与开映象定理 89

3.1 纲与纲推理 90

3.2 开映象定理 93

3.3 闭图象定理 99

3.4 共鸣定理 100

3.5 应用 102

Lax-Milgram定理 102

Lax等价定理 103

4 Hahn-Banach定理 107

4.1 线性泛函的延拓定理 108

4.2 几何形式--凸集分离定理 114

4.3 应用 120

抽象可微函数的中值定理 120

凸规划问题的Lagrange乘子 121

凸泛函的次微分 124

5.1 共轭空间的表示及应用(Runge定理) 127

5 共轭空间·弱收敛·自反空间 127

5.2 共轭算子 137

5.3 弱收敛及·弱收敛 141

5.4 弱紧性与·弱紧性 146

6 线性算子的谱 153

6.1 定义与例 154

6.2 Гелъфанд定理 157

第三章 广义函数与Соболев空间 165

1 广义函数的概念 168

1.1 基本空间？(Ω) 168

1.2 广义函数的定义和基本性质 171

1.3 广义函数的收敛性 174

2 Bo空间 177

3 广义函数的运算 186

3.1 广义微商 186

3.2 广义函数的乘法 189

3.3 平移算子与反射算子 189

4 g′上的Fourier变换 191

5 Соболев空间与嵌入定理 197

1 紧算子的定义和基本性质 207

第四章 紧算子与Fredbolm算子 207

2 Riesz-Fredholm理论 215

3 紧算子的谱理论(Riesz-Schauder理论) 223

3.1 紧算子的谱 224

3.2 不变子空间 225

3.3 紧算子的结构 227

4 Hilbert-Schmidt定理 231

5 对椭圆型方程的应用 239

6 Fredholm算子 243

符号表 255