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第一章 引论 1

第一部分 线性方程 14

第二章 Laplace方程 14

2.1. 平均值不等式 14

2.2. 极大值和极小值原理 16

2.3. Harnack不等式 17

2.4. Green表示 18

2.5. Poisson积分 20

2.6. 收敛性定理 22

2.7. 导数的内估计 23

2.8. Dirichlet问题；下调和函数方法 24

习题 29

第三章 古典极大值原理 31

3.1. 弱极大值原理 32

3.2. 强极大值原理 34

3.3. 先验的界 36

3.4. Poisson方程的梯度估计 38

3.5. Harnack不等式 42

3.6. 散度形式的算子 46

评注 48

习题 49

第四章 Poisson方程和Newton位势 52

4.1.Holder连续性 52

4.2. Poisson方程的Dirichlet问题 55

4.3. 二阶导数的Holder估计 57

4.4. 在边界上的估计 64

习题 68

评注 68

第五章 Banach空间和Hilbert空间 70

5.1. 压缩映象原理 71

5.2. 连续性方法 71

5.3. Fredholm二择一性质 72

5.4. 对偶空间和共轭 76

5.5. Hilbert空间 77

5.6. 投影定理 78

5.7. Riesz表示定理 79

5.8. Lax-Milgram定理 80

5.9. Hilbert空间中的Fredholm二择一性质 81

5.10. 弱紧性 82

评注 83

习题 83

第六章 古典解；Schauder方法 84

6.1. Schauder内估计 86

6.2. 边界估计和全局估计 91

6.3. Dirichlet问题 97

6.4. 内部正则性和边界正则性 107

6.5. 另一种方法 111

6.6. 非一致椭圆型方程 115

6.7. 其它边界条件；斜导数问题 120

6.8. 附录1：内插不等式 130

6.9. 附录2：延拓引理 136

评注 139

习题 142

第七章 Sobolev空间 144

7.1. Lp空间 145

7.2. 正则化和用光滑函数逼近 147

7.3. 弱导数 149

7.4. 链式法则 151

7.5. Wk,p空间 153

7.6. 稠密性定理 154

7.7. 嵌入定理 155

7.8. 位势估计和嵌入定理 158

7.9. Morrey和John-Nirenberg估计 163

7.10. 紧性结果 165

7.11. 差商 167

评注 168

习题 169

第八章 广义解和正则性 171

8.1. 弱极大值原理 173

8.2. Dirichlet问题的可解性 176

8.3. 弱解的可微性 178

8.4. 全局正则性 181

8.5. 弱解的全局有界性 183

8.6. 弱解的局部性质 189

8.7. 强极大值原理 193

8.8. Harnack不等式 194

8.9. Holder连续性 195

8.10. 在边界处的局部估计 197

评注 202

习题 205

第二部分 拟线性方程 208

第九章 极大值原理和比较原理 208

9.1. 一个极大值原理 211

9.2. 比较原理 212

9.3. 一个进一步的极大值原理 213

9.4. 一个反例 214

9.5. 散度形式算子的比较原理 215

9.6. 散度形式算子的极大值原理 217

习题 223

评注 223

第十章 拓扑不动点定理及其应用 224

10.1. Schauder不动点定理 224

10.2. Leray-Schander定理：一个特殊情形 225

10.3. 一个应用 227

10.4. Leray-Schauder不动点定理 231

10.6. 附录：Brouwer不动点定理 237

10.5. 变分问题 239

评注 241

第十一章 两个变量的方程 242

11.1. 拟保角映射 242

11.2. 线性方程梯度的Holder估计 248

11.3. 一致椭圆型方程的Dirichlet问题 252

11.4. 非一致椭圆型方程 257

评注 264

习题 266

第十二章 梯度的Holder估计 268

12.1. 散度形式的方程 268

12.2. 两个变量的方程 272

12.3. 一般形式的方程；内估计 273

12.4. 一般形式的方程；边界估计 277

12.5. 对Dirichlet问题的应用 280

评注 281

第十三章 边界梯度估计 282

13.1. 一般区域 284

13.2. 凸区域 286

13.3. 边界曲率条件 290

13.4. 非存在性结果 295

13.5. 连续性估计 301

评注 302

习题 303

第十四章 全局估计和梯度内估计 304

14.1. 梯度的极大值原理 304

14.2. 一般情形 307

14.3. 梯度的内估计 314

14.4. 散度形式的方程 318

14.5. 存在定理选讲 325

14.6. 连续边值的存在定理 329

评注 330

习题 331

第十五章 平均曲率型方程 333

15.1. Rn+1中的超曲面 333

15.2. 梯度的内估计 344

15.3. 在Dirichlet问题中的应用 349

15.4. 两个自变量的方程 352

15.5. 拟保角映射 355

15.6. 具有拟保角Gauss映射的图象 364

15.7. 对平均曲率型方程的应用 371

15.8. 附录：椭圆参数泛函 375

评注 378

习题 380

附录：边界曲率和距离函数 382

参考书目 385

内容索引 396

记号索引 402