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前言 1

数学--无声的音乐 无色的图画 1

第一章 几何学中的经典音乐 13

第一节 180°定理演义 15

1 不计图形长短曲直 数字“1”统帅全局 15

2 休管立体万种风情 数字“2”展示共性 18

3 多边形外角常为2π 多面体亏量总是4π 19

4 正多面体好奇怪 原来只有五种形态 21

习题1.1 22

第二节 宇宙间头等重要定理外星人无需动用翻译 23

1 毕氏定理在初等数学中的作用 24

2 毕氏定理之严格论证 29

习题1.2 32

第三节 矩形面积是长宽之积 难道还有什么问题 32

习题1.3 37

第四节 圆周率考验人类智力 π的精确数字上亿 38

1 圆的性质优美无比 认识清楚并不容易 39

2 四千多年前π的有效数字公有1 本世纪未达到六十亿 41

3 对π的理性认识 42

4 为什么要把π计算到几十亿位 43

习题*1.4 45

第五节 黄金兔子不相及 数量之间有联系 45

1 黄金比的美学价值 45

2 黄金比的数值计算 46

3 黄金比与正五边形 48

4 黄金比与兔子数列 50

习题1.5 52

第六节 高斯墓碑上的正十七边形回答了三等分角不可能问题 52

第七章 被人遗忘的九点圆定理 丢掉了小明珠实在可惜 58

习题1.6 58

1 九点圆 59

2 八点圆 60

3 四心共线 61

习题1.7 63

第八节 四面体留下千年难题 割补术无法求其体积 63

1 千年难题--体积问题 64

2 四面体诸元素互相牵制 66

3 特殊四面体与特殊三角形 68

习题1.8 74

第九节 自由向量妙用无穷 中学教材弃之不用 75

1 向量运算与基本几何定理的统一性 75

2 朴素思想解困难问题 78

3 向量与三角形 83

习题1.9 87

第十节 圆锥面与平面留下截痕 奉献出一套完美图形 88

1 圆锥面上的截痕 88

2 个性寓于共性之中 90

3 圆锥曲线的统一方程 93

习题1.10 95

第十一节 阿基米德称出圆球体积 祖氏父子创立祖暅原理 95

习题1.11 101

第二章 数之演进 103

第一节 自然数充满奥秘 人类智慧力所不及 105

习题2.1 108

第二节 自然数公理令人烦恼 数学根基岂能动摇 108

习题2.2 112

第三节 一群幽灵在自然数王国游荡 古今学者留下迷人的猜想 112

习题2.3 117

第四节 古往今来论整除 千变万化用同余 118

习题2.4 128

第五节 密钥公开难破译 因数分解显神奇 128

1 新颖设想 密钥公开 129

2 一场竞赛 打破神话 132

3 先进的网络 古老的算法 134

习题2.5 135

第六节 十进制独占统治地位 二进制方显身价百倍 135

1 美国有人出主意 全球通用英国制 136

2 二进制优越真不少 最大用处在电脑 138

3 模2加法最容易 闲来无事做游戏 141

习题2.6 144

第七节 无理数并非无理 原来是翻译出了问题 145

1 有理数可以数个数 无理数不能排次序 146

2 实数跟着小数跑 小数也是找不到家 149

3 实数难为数学家 有理数中讨说法 150

4 实数论有丰富内涵 哥德尔创世纪成就 153

习题2.7 155

1 虚数圆宇宙之梦 复数集数之大成 156

第八节 虚数虚无缥缈 复数必不可少 156

2 复数应用广泛 性质朴素简单 159

习题2.8 162

第九节 三百年前费马留下最后定理 世纪末怀尔斯一举成名 163

第十节 哥德巴赫猜想极具魅力 陈景润未竟事业留给新世纪 166

第三章 符号化与代数的逻辑 171

第一节 算术是代数的前驱 代数是算术的符号化 173

1 数系通性乃是代数灵魂 运算法则要合数系通性 173

2 算术是智者的游戏 代数是懒人的算术 178

3 余式定理强有力 求解方程不能离 181

习题3.1 186

第二节 因式分解难题多 理性认识学问深 186

1 不可约多项式与系数的取值范围 187

2 唯一性的论证 188

3 存在性与可行性 189

4 有理多项式因式分解的特殊性 190

习题3.2 192

第三节 四百年前一场数学竞赛 三次四次方程终于获解 193

第四节 增根增添麻烦 验根手续简单 198

习题3.3 198

习题3.4 203

第五节 一条以“中国”命名的定理 记载了中国数学的光辉业绩 204

1 中国剩余定理 204

2 中国剩余定理与多项式 207

3 中国剩余定理的应用 209

习题3.5 214

第四章 此数函彼数 谓之函数 215

第一节 函数概念不断演进 内涵终为变量对应 217

习题4.1 221

第二节 初等函数各有定义 特征性质演绎反问题 222

1 正比例函数的反问题 223

2 函数f(x)=ax+b/cx-a 229

3 幂函数的特征 232

4 指数函数与对数函数的个性 233

5 正弦和余弦函数的公理 237

6 数论函数 240

习题4.2 245

第三节 变分方法好奥妙 证明技术真高超 246

习题4.3 251

第四节 凸函数朴素简单 不等式何其困难 252

1 凸函数两边低中间高 不等式中间大两头小 252

2 哥西发现两个不等式 他把一半功劳分给了希瓦茨 257

3 先来后到有次序 排队可获最大值 260

习题4.4 263

第五节 调和级数怪事多 追根溯源没有和 263

习题4.5 268

第五章 组合数学点滴 269

第一节 神龟图开创组合数学 巧安排竞显古人智慧 271

1 “洛书”演变出幻方 杨辉巧手解“易经” 273

2 组合数垄断组合公式 该公式演绎组合性质 275

3 事物奇偶有别 数学难题获解 279

4 情况不胜枚举 列举不厌其烦 282

习题5.1 284

第二节 《红楼梦》里有抽屉原理 朴素方法解万种难题 285

习题*5.2 292

第三节 母函数是形式级数 收敛性可不必深究 293

1 难以回答的简单问题 293

2 母函数与数列的血缘关系 294

3 母函数为数列生产通项公式 298

习题5.3 303

第六章 数学思想与数学方法漫话 305

第一节 归纳法通向真理 不严谨陷入谬误 307

1 归纳出真理 307

2 用归纳法也有犯错误的时候 314

3 “一、二、三、四、五，上山打老虎”--数学归纳法的威力 317

习题6.1 323

第二节 数学家以我为主 求全胜竞弃全局 323

习题6.2 328

第三节 平行公理引爆革命 理性思维开创先例 329

习题6.3 333

第四节 老罗素造集合之反例 好悖论是倒置的真理 334

1 中国小商贩不能自圆其说 西洋理发师无奈不知所措 334

2 初等数学多悖论 严谨逻辑是命根 338

习题6.4 343

第五节 集合是迟到的主角 它左右着当今数学 344

习题6.5 349

习题参考答案 351