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绪论 实数 1

1.有理数域 1

1.前言 1

2.有理数域的顺序 2

3.有理数的加法及减法 2

4.有理数的乘法及除法 4

5.阿基米德公理 6

2.无理数的导入 实数域的顺序 7

6.无理数的定义 7

7.实数域的顺序 10

8.辅助命题 11

9.用无尽小数来表示实数 12

10.实数域的连续性 14

11.数集的界 16

3.实数的算术运算 18

12.实数的和的定义 18

13.加法的性质 19

14.实数的积的定义 21

15.乘法的性质 22

16.结论 24

17.绝对值 24

4.实数的其他性质及应用 25

18.根的存在、有有理指数的幂 25

19.有任意实指数的幂 27

20.对数 29

21.线段的度量 30

第一章 极限论 33

1.整序变量及其极限 33

22.变量、整序变量 33

23.整序变量的极限 36

24.无穷小量 37

25.例题 38

26.关于有极限的整序变量的一些定理 42

27.无穷大量 44

2.极限的定理 若干容易求得的极限 46

28.在等式及不等式内取极限 46

29.关于无穷小的预备定理 47

30.变量的算术运算 49

31.特殊情形、不定式 50

32.极限求法的例题 54

33.施笃兹定理及其应用 59

3.单调整序变量 62

34.单调整序变量的极限 62

35.例题 64

36.数e 69

37.数e的近似计算法 71

38.关于内含区间的预备定理 73

4.收敛原理 部分极限 75

39.收敛原理 75

40.部分数列及部分极限 77

41.布柴诺-魏施德拉司预备定理 79

42.上限及下限 81

第二章 一元函数 85

1.函数概念 85

43.变量及其变动区域 85

44.变量间的函数关系、例题 86

45.函数概念的定义 87

46.函数的解析表示法 90

47.函数的图线 92

48.几种最重要的函数 94

49.反函数的概念 98

50.反三角函数 101

51.函数的叠置、总结 105

2.函数的极限 106

52.函数的极限的定义 106

53.变成整序变量的情形 109

54.例题 111

55.极限理论的拓广 119

56.例题 122

57.单调函数的极限 124

58.布柴诺-柯希的一般判定法 126

59.函数的上限及下限 127

3.无穷小及无穷大的分级 128

60.无穷小的比较 128

61.无穷小的尺度 129

62.相当的无穷小 131

63.主部的分出 133

64.应用题 134

65.无穷大的分级 136

4.函数的连续性及间断 137

66.函数在一点处的连续性的定义 137

67.连续函数的算术运算 139

68.连续函数的例题 140

69.单方连续、间断的分类 142

70.间断函数的例题 143

71.单调函数的连续性及间断 146

72.初等函数的连续性 147

73.连续函数的叠置 148

74.一个函数方程式的解 149

75.某些初等函数的函数特性 150

76.函数的连续性在计算极限时的应用 153

77.幂指数式 156

78.例题 157

5.连续函数的性质 158

79.关于函数取零值的定理 158

80.应用于解方程式 161

81.介值定理 162

82.反函数的存在 163

83.关于函数的有界性的定理 165

84.函数的最大值及最小值 166

85.均匀连续的概念 169

86.康都定理 170

87.薄莱尔预备定理 172

88.基本定理的新证明 174

第三章 导数及微分 177

1.导数及其求法 177

89.求动点速度的问题 177

90.在曲线上作切线的问题 178

91.导数的定义 180

92.求导数的例题 184

93.反函数的导数 187

94.导数公式一览表 189

95.函数的增量的公式 190

96.几个求导数的简单法则 191

97.复合函数的导数 193

98.例题 194

99.单方导数 201

100.无穷导数 201

101.特殊情形的例题 203

2.微分 204

102.微分的定义 204

103.可微性与导数存在之间的关系 205

104.微分的基本公式及法则 207

105.微分的形式不变性 209

106.微分是近似公式的来源 211

107.应用微分来估计误差 213

3.高级导数及高级微分 216

108.高级导数的定义 216

109.任意级导数的普遍公式 217

110.莱伯尼兹公式 221

111.例题 223

112.高级微分 226

113.高级微分的形式不变性的破坏 227

114.参变量微分法 228

4.微分学的基本定理 229

115.费马定理 229

116.达布定理 231

117.洛尔定理 232

118.拉格朗奇公式 233

119.导数的极限 235

120.柯希公式 236

5.戴劳公式 238

121.多项式的戴劳公式 238

122.任意函数的展开式、余项的皮亚诺式 240

123.例题 243

124.余项的其他形式 247

125.近似公式 250

第四章 利用导数研究函数 256

1.函数的动态的研究 256

126.函数为常数的条件 256

127.函数为单调的条件 258

128.极大值及极小值、必要条件 262

129.充分条件、第一法则1 264

130.例题 265

131.第二法则 270

132.高级导数的应用 272

133.最大值及最小值的求法 274

134.应用题 275

2.函数的作图 280

135.问题的提出 280

136.凹曲的方向、变曲点 281

137.作图的步骤、例题 283

138.无穷间断、无穷区间，渐近线 285

139.例题 288

3.不定式的定值法 292

140.0/0型不定式 292

141.∞/∞型不定式 298

142.其他型的不定式 301

4.方程式的近似解 303

143.导言 303

144.比例法则（弦线法） 304

145.牛顿法则（切线法） 308

146.例题及习题 310

147.联合法 314

148.例题及习题 315