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第1章 多项式 1

1.1多项式的概念与运算 1

一、多项式的基本概念 1

二、多项式的运算 1

1.2多项式的整除 2

一、带余除法及其计算 2

二、整除 5

三、最大公因式及其求法 6

四、多项式的互素 7

1.3多项式的因式分解 9

一、不可约多项式 9

二、k重因式 11

三、多项式函数 12

四、一般数域上的因式分解及根的性质 15

五、复数域上多项式的因式分解及根的性质 16

六、实数域上多项式的因式分解及根的性质 17

七、有理数域上多项式的因式分解及根的性质 18

第2章 行列式 24

2.1用定义计算行列式 24

2.2求行列式的若干方法 25

一、三角化法 26

二、用行列式的性质化为已知行列式 26

三、滚动相消法 27

四、拆分法 29

五、加边法 31

六、归纳法 32

七、利用递推降级法 33

八、利用重要公式与结论 35

九、用幂级数变换计算行列式 36

2.3利用降级公式计算行列式 42

2.4有关行列式的证明题 48

2.5一个行列式的计算与推广 51

一、Dn的计算 51

二、问题的推广 54

第3章 线性方程组 56

3.1线性相关性（Ⅰ） 56

一、线性相关 56

二、线性无关 57

三、综合性问题 61

3.2矩阵的秩 64

3.3线性方程组的解 67

一、线性方程组的几种表示形式 67

二、线性方程组有解的判定及解的个数 68

三、线性方程组解的结构 70

第4章 矩阵 81

4.1矩阵的基本运算 81

一、矩阵的加法和数乘 81

二、矩阵的乘法 82

三、矩阵的转置 83

四、矩阵的伴随 84

4.2矩阵的逆 87

一、矩阵逆的性质 87

二、矩阵逆的求法（Ⅰ） 88

三、矩阵不可逆的证明方法 89

四、矩阵多项式的逆（Ⅱ） 89

4.3矩阵的分块 91

一、分块阵的乘法及其应用 91

二、分块阵的广义初等变换 92

三、关于分块阵的逆（Ⅲ） 92

4.4初等矩阵 94

一、初等矩阵及其性质 94

二、初等变换的应用 96

三、矩阵的等价 98

4.5若干不等式 99

一、Steinitz替换定理及其应用 99

二、利用整齐与局部的思想（实例） 100

第5章 二次型 104

5.1二次型与矩阵 104

一、二次型的概念及其表示 104

二、二次型与对称矩阵 105

5.2标准形与规范形 106

一、标准形 106

二、规范形及其唯一性 110

三、（反）对称矩阵（Ⅱ） 111

5.3正定二次型的判定（Ⅰ） 113

一、正定二次型的判定 113

二、正定矩阵的判定 115

5.4其他各类二次型 118

一、负定二次型 118

二、半正（负）定二次型 119

5.5不等式与二次型（实例） 120

第6章 线性空间 122

6.1线性空间的定义 122

一、用定义证明线性空间 122

二、几个常用的线性空间 122

三、向量组的线性相关性 123

6.2基与维数·变换公式 124

一、基与维数的求法 124

二、变换公式（Ⅰ） 126

三、坐标的求法 127

6.3子空间及其运算 128

一、子空间的判定 128

二、子空间的运算 131

三、直和的证明 134

四、子空间的性质 134

6.4不等式 138

第7章 线性变换 140

7.1线性变换及其运算 140

一、线性变换的判定及其性质 140

二、线性变换的多项式 141

7.2线性变换与矩阵 143

一、线性变换的矩阵 143

二、一一对应关系 144

三、矩阵的相似 146

四、变换公式（Ⅱ） 147

7.3矩阵（线性变换）的特征值与特征向量 150

一、矩阵特征值与特征向量求法 150

二、矩阵特征值的和与积 154

三、代数重数与几何重数 155

四、扰动法 155

7.4线性变换（矩阵）的对角化问题（Ⅰ） 158

一、利用特征向量判定 158

二、利用特征值判定 159

7.5不变子空间 162

一、不变子空间的判定 162

二、特征子空间 164

三、值域 165

四、核 165

7.6线性空间的分解 171

一、多项式理论与线性空间分解初步 171

二、线性空间的分解 173

第8章 λ-矩阵 175

8.1 λ-矩阵的有关概念及结论 175

一、λ-矩阵的相关概念 175

二、不变因子，行列式因子与初等因子 176

8.2矩阵相似的条件 178

一、矩阵相似与λ-矩阵等价之间的关系 178

二、矩阵相似的充要条件 179

8.3矩阵的Jordan标准形 180

一、Jordan标准形及其求法 180

二、Jordan块的性质及其应用 183

8.4 Jordan标准形的相似过渡阵的求法 190

8.5最小多项式 196

一、最小多项式及其性质 196

二、最小多项式的求法 197

三、最小多项式的应用（实例） 201

8.6矩阵的对角化问题 203

一、利用最小多项式判定矩阵的对角化 203

二、常见的几类可对角化矩阵 204

8.7矩阵方幂的若干求法 205

一、秩为1的情况 205

二、可分解为数量矩阵和幂零矩阵之和的情况 206

三、归纳法（实例） 207

四、利用相似变换法 208

五、特征多项式法（或最小多项式法） 209

六、利用Jordan标准形（实例） 210

第9章 欧几里得空间 213

9.1欧氏空间及其基本性质 213

一、欧氏空间的基本概念 213

二、不等式 215

三、度量矩阵及其性质 216

9.2标准正交基 218

一、标准正交基及其性质 218

二、标准正交基的求法 219

三、正交矩阵及其性质 221

9.3子空间 223

一、子空间的正交及其性质 223

二、正交补 224

9.4欧氏空间上的线性变换 226

一、正交变换 226

二、对称变换 228

三、反对称变换 229

四、（反）对称矩阵（Ⅲ） 229

9.5矩阵分解 233

一、加法分解 233

二、乘法分解 235

三、特殊矩阵的分解 237

练习答案 241