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第8章 多元函数微分学 1

8.1多元函数的基本概念 2

n维空间和多元函数的概念 2

区域 4

多元函数的极限 5

多元函数的连续性 7

习题8.1 8

8.2偏导数与全微分 9

偏导数 9

高阶偏导数 12

全微分 14

习题8.2 18

8.3多元复合函数的求导法则 19

复合函数的求导法则 19

全微分的形式不变性 23

复合函数的高阶偏导数 24

习题8.3 26

8.4隐函数的求导公式 27

一个方程的情形 27

方程组的情形 29

习题8.4 32

8.5方向导数与梯度 32

方向导数 33

梯度 35

习题8.5 38

8.6多元函数微分学的几何应用 38

空间曲线的切线与法平面 38

曲面的切平面与法线 42

习题8.6 45

8.7多元函数的极值 45

多元函数的极值与最大值和最小值 45

条件极值 49

习题8.7 55

第8章总习题 55

第9章 重积分 57

9.1二重积分的概念与性质 58

两个引例 58

二重积分的概念 60

二重积分的性质 60

关于二重积分的对称性 61

习题9.1 63

9.2二重积分的计算 64

利用直角坐标计算二重积分 64

利用极坐标计算二重积分 69

二重积分的换元法 74

习题9.2 75

9.3三重积分的计算 78

三重积分的概念 78

三重积分的计算 79

习题9.3 85

9.4重积分的应用 86

曲面的面积 87

质心 89

转动惯量 91

引力 92

习题9.4 94

第9章总习题 94

第10章 曲线积分与曲面积分 97

10.1第一类曲线积分 98

第一类曲线积分的概念与性质 98

第一类曲线积分的计算法 99

习题10.1 101

10.2第二类曲线积分 102

第二类曲线积分的概念与性质 102

第二类曲线积分的计算法 104

两类曲线积分的关系 107

习题10.2 108

10.3格林公式及其应用 109

格林公式 109

曲线积分与路径无关的条件 114

习题10.3 119

10.4第一类曲面积分 120

第一类曲面积分的概念与性质 120

第一类曲面积分的计算法 121

习题10.4 124

10.5第二类曲面积分 124

第二类曲面积分的概念与性质 124

第二类曲面积分的计算法 127

两类曲面积分的关系 130

习题10.5 132

10.6高斯公式及散度 133

高斯公式 133

散度 138

场论简介 138

习题10.6 139

10.7斯托克斯公式与旋度 140

斯托克斯公式 140

旋度 143

习题10.7 144

第10章总习题 145

第11章 无穷级数 148

11.1常数项级数的概念与基本性质 149

常数项级数的概念 149

收敛级数的基本性质 153

级数收敛的必要条件 155

习题11.1 157

11.2正项级数及其审敛法 158

正项级数及其收敛的基本定理 158

正项级数审敛法 158

习题11.2 166

11.3任意项级数 167

交错级数及其审敛法 167

绝对收敛与条件收敛 169

习题11.3 171

11.4幂级数 172

函数项级数的概念 172

幂级数及其收敛性 173

幂级数的运算与性质 178

习题11.4 182

11.5函数的幂级数展开式及其应用 183

泰勒级数 183

函数展开为幂级数的方法 185

欧拉公式 191

近似计算 192

习题11.5 194

11.6傅里叶级数 195

三角函数系的正交性 196

傅里叶级数 197

正弦级数和余弦级数 202

习题11.6 208

11.7一般周期函数的傅里叶级数 208

习题11.7 213

第11章总习题 214

第12章 常微分方程 218

12.1微分方程的基本概念 219

习题12.1 221

12.2可分离变量的微分方程 222

习题12.2 226

12.3一阶线性微分方程 227

习题12.3 231

12.4可用变量代换法求解的一阶微分方程 232

12.4.1齐次方程 232

12.4.2伯努利方程 235

习题12.4 237

12.5全微分方程 238

习题12.5 243

12.6可降阶的二阶微分方程 244

习题12.6 248

12.7线性微分方程解的结构 249

习题12.7 251

12.8二阶常系数线性齐次微分方程 252

习题12.8 256

12.9二阶常系数线性非齐次微分方程 257

习题12.9 264

12.10数学建模简介——常微分方程应用实例 264

习题12 10 276

第12章总习题 276

第13章 微积分学实验Ⅱ 279

13.1空间图形的画法 279

13.2最小二乘法与数据拟合 282

13.3重积分的计算 285

13.4湖泊污染问题 288

附录A 几种常用的曲面 291

习题答案与提示 294

参考文献 309