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绪论 1

第一部分 17世纪以前 7

文明背景Ⅰ：大草原的狩猎者们（石器时代——大约公元前5000000年—公元前3000年） 7

第一章　数系 10

1.1　原始记数 10

1.2　数基 12

1.3　手指数和书写数 13

1.4　简单分群数系 15

1.5　乘法分群体系 17

1.6　字码数系 18

1.7　定位数系 19

1.8　早期计算 21

1.9　印度-阿拉伯数系 23

1.10　任意的基 24

问题研究 26

1.1　数字 26

1.2　书写数 27

1.3　用希腊字码表示的数系 27

1.4　古老的和假设的数系 27

1.5　手指数 28

1.6　基数分数 28

1.7　其他进位制中的四则运算 29

1.8　关于不同进位制的换算 29

1.9　二进制的游戏 29

1.10　一些数字游戏 30

论文题目 31

参考文献 31

文明背景Ⅱ：农业革命（文明的发源地——大约公元前3000年—公元前525年） 35

第二章　巴比伦和埃及数学 39

2.1　古代东方 39

2.2　原始资料 40

2.3　商业数学和农用数学 41

2.4　几何学 42

2.5　代数学 43

2.6　普林顿322号 44

2.7　原始资料与年代 47

2.8　算术及代数学 52

2.9　几何学 54

2.10　兰德纸草书中一个奇妙的问题 55

问题研究 56

2.1　正则数 56

2.2　复利 57

2.3　二次方程 57

2.4　代数型的几何学 58

2.5　苏萨书板 59

2.6　三次方程 59

2.7　平方根的近似值 60

2.8　双倍和调停 60

2.9　单位分数 61

2.10　西尔维斯特方法 61

2.11　金字塔的陡度 62

2.12　埃及代数学 62

2.13　埃及几何学 62

2.14　最宏伟的金字塔 63

2.15　莫斯科纸草书中的一些问题 65

2.16　3,4,5三角形 65

2.17　开罗数学纸草书 65

论文题目 66

参考文献 67

文明背景Ⅲ：市场上的哲学家们（古希腊时代——大约公元前800年—公元前336年） 69

第三章　毕达哥拉斯学派的数学 73

3.1　证明数学的诞生 73

3.2　毕达哥拉斯及其学派 74

3.3　毕氏学派的算术 76

3.4　毕氏定理和毕氏三数 80

3.5　无理数的发现 82

3.6　代数恒等式 84

3.7　二次方程的几何解法 86

3.8　面积的变换 89

3.9　正多面体 90

3.10　公理的思想 91

问题研究 91

3.1　泰勒斯的实际问题 91

3.2　完全数和亲和数 92

3.3　形数 93

3.4　平均值 93

3.5　毕氏定理的剖分法证明 94

3.6　毕氏三数 95

3.7　无理数 96

3.8　代数恒等式 96

3.9　几何型的代数 97

3.10　二次方程的几何解法 97

3.11　面积的变换 98

3.12　正多面体 99

3.13　涉及正多面体的一些问题 99

3.14　黄金分割 100

3.15　狄奥多鲁斯提出的？的作图法 100

3.16　一个有趣的关系式 100

论文题目 101

参考文献 101

第四章　倍立方体、三等分角和化圆为方问题 104

4.1　从泰勒斯到欧几里得的时期 104

4.2　数学发展的路线 108

4.3　三个著名的问题 108

4.4　欧几里得工具 109

4.5　倍立方体 109

4.6　三等分角 111

4.7　化圆为方问题 114

4.8 π的年表 116

问题研究 122

4.1　欧几里得圆规与现代圆规 122

4.2　用阿契塔和梅纳科莫斯的方法解倍立方体问题 123

4.3　用阿波洛尼乌斯和埃拉托塞尼的方法解倍立方体问题 123

4.4　丢克莱斯的蔓叶线 124

4.5　17世纪提出的解倍立方体问题的一些方法 125

4.6　插入原理之应用 125

4.7　尼科梅德斯的蚌线 126

4.8　用圆锥曲线三等分角 126

4.9　渐近的欧几里得作图 127

4.10　割圆曲线 127

4.11　近似求长法 128

4.12　希波克拉底的月形 128

4.13　π的计算 128

4.14　斯内尔的近似法 129

4.15　帮助记忆π的诗歌 130

论文题目 131

参考文献 131

文明背景Ⅳ：文明世界（波斯帝国——公元前500年—公元前300年；希腊化时代——公元前336年—公元前31年；罗马帝国——公元前31年—公元476年） 135

第五章　欧几里得及其《原本》 140

5.1　亚历山大里亚 140

5.2　欧几里得 141

5.3　欧几里得的《原本》 141

5.4　《原本》的内容 144

5.5　比例理论 149

5.6　正多边形 151

5.7　《原本》的表现形式 151

5.8　欧几里得的其他著作 153

问题研究 154

5.1　欧几里得算法 154

5.2　欧几里得算法的应用 154

5.3　毕氏定理 155

5.4　欧几里得《原本》的第二卷 156

5.5　算术基本定理的应用 156

5.6　欧多克斯的比例理论 157

5.7　正多边形 157

5.8　三角形的内角和 158

5.9　关于面积的演绎推论 158

5.10　关于角的演绎推论 158

5.11　基本定理 159

5.12　数据 159

5.13　利用数据的作图 159

5.14　剖分 160

论文题目 161

参考文献 161

第六章　欧几里得之后的希腊数学 164

6.1　历史背景 164

6.2　阿基米德 164

6.3　埃拉托塞尼 169

6.4　阿波洛尼乌斯 170

6.5　希帕克、梅理劳斯、托勒密和希腊的三角学 173

6.6　希罗 176

6.7　古希腊的代数学 177

6.8　丢番图 178

6.9　帕普斯 180

6.10　注释者们 182

问题研究 184

6.1　阿利斯塔克和埃拉托塞尼的测量工作 184

6.2　关于球体和柱体 185

6.3　王冠问题 185

6.4　鞋匠刀形和盐窖形 186

6.5　折弦定理 187

6.6　焦点-准线性质 187

6.7　相切性 188

6.8　阿波洛尼乌斯提出的问题 189

6.9　托勒密的弦表 189

6.10　球极平面射影 190

6.11　希罗提出的问题 191

6.12　联立方程 193

6.13　《希腊选集》中的问题 193

6.14　《希腊选集》中的典型问题 194

6.15　丢番图 194

6.16　《算术》中的一些数论 194

6.17　帕普斯提出的问题 195

6.18　形心定理 196

6.19　椭圆的椭圆规作图 196

6.20　梅理劳斯定理 197

6.21　更多的平均值 197

论文题目 199

参考文献 200

文明背景Ⅴ：亚细亚诸帝国（中国在1260年之前；印度在1206年之前；伊斯兰文化的兴起——622至1258年） 203

第七章 中国、印度和阿拉伯数学 208

7.1　原始资料与年代　 208

7.2　从商朝到唐朝 209

7.3　从唐朝到明朝 211

7.4　小结 212

7.5　概述 215

7.6　数的计算 218

7.7　算术和代数 221

7.8　几何学和三角学 222

7.9　希腊和印度数学之间的差异　 224

7.10　穆斯林文化之兴起　 225

7.11　算术和代数　 227

7.12　几何学和三角学 229

7.13　某些语源 230

7.14　阿拉伯的贡献 231

问题研究 232

7.1　来自《九章算术》的一些问题 232

7.2　毕氏定理 232

7.3　幻方 233

7.4　一些古代印度问题　 234

7.5　来自摩诃毗罗的问题 235

7.6　来自婆什迦罗的问题 235

7.7　二次不尽根 236

7.8　一次不定方程 236

7.9　联圆四边形的对角线 237

7.10　婆罗摩笈多四边形 237

7.11　泰比特·伊本柯拉、阿尔·卡黑和纳瑟尔·埃德-丁 238

7.12　去9法 238

7.13　去11法 239

7.14　双试位法 240

7.15　三次方程的海牙姆解法　 240

7.16　三次方程的几何解 241

7.17　在球面上的几何作图 242

论文题目 242

参考文献 243

文明背景Ⅵ：农奴、领主和教皇（欧洲中世纪——476至1492年） 245

第八章　从500年到1600年的欧洲数学 251

8.1　黑暗时代 251

8.2　传播时期 252

8.3　斐波那契和13世纪 254

8.4　14世纪 256

8.5　15世纪 257

8.6　早期的算术书 260

8.7　代数的符号表示之开端 262

8.8　三次和四次方程 264

8.9　韦达 268

8.10　16世纪的其他数学家 270

问题研究 273

8.1　黑暗时代提出的问题 273

8.2　斐波那契序列 273

8.3　《算盘书》中提出的问题 274

8.4　来自斐波那契的其他问题 274

8.5　星多边形 275

8.6　约敦纳斯和库萨 275

8.7　丢勒和双偶阶幻方 276

8.8　来自雷琼蒙塔努斯的问题 278

8.9　来自丘凯的问题 279

8.10　来自帕奇欧里的问题 279

8.11　早期商业问题 279

8.12　格栅算法和长条算法 281

8.13　数字算命术 283

8.14　三次方程 283

8.15　四次方程 283

8.16　16世纪的记号 284

8.17　来自韦达的问题 284

8.18　来自克拉维乌斯的问题 285

8.19　一些几何问题 285

论文题目 286

参考文献 287

第二部分 17世纪及其以后 293

文明背景Ⅶ：清教徒和水手们（欧洲的扩张——1492至1700年） 293

第九章　现代数学的开端 298

9.1　17世纪 298

9.2　纳皮尔 298

9.3　对数 300

9.4　萨魏里和卢卡斯数学讲座 304

9.5　哈里奥特和奥特雷德 304

9.6　伽利略 308

9.7　开普勒 311

9.8　笛沙格 314

9.9　帕斯卡 315

问题研究 320

9.1　对数 320

9.2　纳皮尔和球面三角学 321

9.3　纳皮尔标尺 322

9.4　滑尺 323

9.5　自由落体 323

9.6　扇形圆规 324

9.7　伽利略的《对话》中提出的一些简单的悖论 325

9.8　开普勒定律 326

9.9　镶嵌问题 326

9.10　用射影法证明定理 327

9.11　帕斯卡的青年时的经验“证明” 329

9.12　帕斯卡定理 329

9.13　帕斯卡三角阵 329

论文题目 330

参考文献 331

第十章　解析几何和微积分以前的其他发展 334

10.1　解析几何 334

10.2　笛卡儿 335

10.3　费马　 340

10.4　罗伯瓦和托里拆利　 345

10.5　惠更斯 347

10.6　17世纪法国和意大利的一些数学家 349

10.7　17世纪德和低地国家的一些数学家 351

10.8　17世纪英国的一些数学家 352

问题研究 354

10.1　几何式代数 354

10.2　笛卡儿的《几何学》 355

10.3　笛卡儿的符号规则 355

10.4　来自笛卡儿的问题 356

10.5　费马定理 356

10.6　得分问题 357

10.7　来自惠更斯的问题 357

10.8　高次平面曲线 358

10.9　梅齐利亚克提出的数学游戏问题 359

10.10　一些几何问题 360

10.11　用级数计算对数 361

论文题目 361

参考文献 362

第十一章　微积分和有关的概念 365

11.1　引论 365

11.2　芝诺悖论 365

11.3　欧多克斯的穷竭法 366

11.4　阿斯米德的平衡法 369

11.5　积分在西欧的起源 370

11.6　卡瓦列利的不可分元法 371

11.7　微分的起源 374

11.8　沃利斯和巴罗 376

11.9　牛顿 380

11.10　莱布尼茨 385

问题研究 388

11.1　穷竭法 388

11.2　平衡法 388

11.3　阿斯米德的一些问题 389

11.4　不可分元法 389

11.5　平截头棱锥体的公式 390

11.6　微分 391

11.7　二项式定理 391

11.8　多项式的根之上界 392

11.9　方程的近似解 392

11.10　集合的代数 393

论文题目 394

参考文献 394

文明背景Ⅷ：中产阶极的叛乱（欧洲和美洲的18世纪） 399

第十二章　18世纪数学和微积分的进一步探索 404

12.1　引言与说明　 404

12.2　伯努利家族　 406

12.3　棣莫弗尔和概率论　 409

12.4　泰勒和麦克劳林　 410

12.5　欧拉　 413

12.6　克雷罗、达兰贝尔和兰伯特　 416

12.7　阿涅泽和杜查泰莱特　 420

12.8　拉格朗日　 423

12.9　拉普拉斯和勒让德 425

12.10　蒙日和卡诺　 428

12.11　米制　 432

12.12　总结　 433

问题研究 434

12.1　伯努利数 434

12.2　棣莫弗尔公式 435

12.3　分布　 435

12.4　级数的形式运算　 436

12.5　猜想和悖论　 436

12.6　欧拉和无穷级数　 436

12.7　环形曲线　 437

12.8　单行和多行网络 438

12.9　某些微分方程　 440

12.10　双曲函数　 440

12.11　阿涅泽的箕舌线　 441

12.12　拉格朗日与解析几何　 442

12.13　蒲丰的投针问题　 442

12.14　圆中的随机弦　 443

12.15　最小二乘法　 444

12.16　蒙日的某些几何学　 445

12.17　指向的量　 445

12.18　卡诺定理　 446

论文题目 446

参考文献 447

文明背景Ⅸ：工业革命（19世纪） 451

第十三章　19世纪早期数学、几何学和代数学的解放 455

13.1　数学王子 455

13.2　热曼和萨默维里 459

13.3　傅里叶和泊松 461

13.4　波尔查诺 464

13.5　柯西 465

13.6　阿贝尔和伽罗瓦 467

13.7　雅科比和狄利克雷 470

13.8　非欧几何 473

13.9　几何学的解放 477

13.10　代数结构的出现 478

13.11　代数学的解放 480

13.12　哈密顿、格拉斯曼、布尔和德摩根　 485

13.13　凯利、西尔维斯特和埃尔米特　 489

13.14　科学院、学会和期刊 495

问题研究 496

13.1　代数的基本定理 496

13.2　同余式的基本性质　 496

13.3　高斯和数 497

13.4　傅里叶级数 497

13.5　柯西与无穷级数 498

13.6　群论 498

13.7　群的例子 499

13.8　阿贝尔群 499

13.9　萨谢利四边形 500

13.10　锐角假定 500

13.11　对于双曲几何的欧几里得模型 501

13.12　非欧几何与物理空间 501

13.13　有普通代数结构的系统 502

13.14　代数定律 503

13.15　进一步讨论代数定律 503

13.16　代为有序实数对的复数 504

13.17　四元数 504

13.18　矩阵 504

13.19　若尔当和李代数 505

13.20　向量 507

13.21　有趣的代数 507

13.22　点代数　 508

13.23　一个无限的非阿贝尔群 508

13.24　哈密顿博弈 508

论文题目 509

参考文献 509

第十四章　19世纪后期数学及分析的算术化 514

14.1　欧几里得工作的继续 514

14.2　用欧几里得工具解三个著名问题的不可能性 514

14.3　单独用圆规或直尺的作图 516

14.4　射影几何 518

14.5　解析几何 522

14.6　n维几何 527

14.7　微分几何 529

14.8　克莱因与爱尔兰根大纲 532

14.9　分析的算术化 536

14.10　魏尔斯特拉斯和黎曼 538

14.11　康托尔、克罗内克和庞加莱 541

14.12　柯瓦列夫斯卡娅、诺特和斯科特 544

14.13　素数 548

问题研究 550

14.1　费尔巴哈构形 550

14.2　康曼丁那定理 551

14.3　四面体的高 551

14.4　空间模拟 552

14.5　等角的定理 552

14.6　不可能的作图 552

14.7　一些近似作图 553

14.8　马斯凯罗尼作图定理 553

14.9　用直尺和有固定张度的图规作图 554

14.10　勒穆瓦纳几何作图学 555

14.11　对偶原理 555

14.12　射影几何的自对偶公设集 556

14.13　三角学的对偶原理 556

14.14　坐标系 556

14.15　线坐标 557

14.16　维数 557

14.17　简记法 558

14.18　齐次坐标 559

14.19　普吕克数 559

14.20　n维几何 559

14.21　高斯曲率 560

14.22　由悬链线生成的回转曲面 560

14.23　爱尔兰根大纲 561

14.24　早期微积分的神秘主义和悖论 562

14.25　早期使用无穷级数遇到的困难 562

14.26　初等代数中的一些谬论 563

14.27　微积分中的一些谬论 566

14.28　没有切线的连续曲线 567

14.29　代数数和超越数 568

14.30　界 568

14.31　素数 569

论文题目 570

参考文献 571

文明背景Ⅹ：原子和纺车（20世纪） 575

第十五章　进入20世纪 578

15.1 欧几里得《原本》在逻辑上的缺陷 578

15.2　公理学 580

15.3　一些基本概念的演变 581

15.4　超限数 583

15.5　拓扑学 587

15.6　数理逻辑 589

15.7　集合论中的悖论 593

15.8　数学哲学 597

15.9　计算机 604

15.10　新数学与布尔巴基 609

15.11　数学之树 611

15.12　前景 613

问题研究 614

15.1 欧几里得做的不言而喻的假定 614

15.2　三个几何上的悖论 615

15.3　戴德金的连续统公设 616

15.4　欧几里得公设的坐标解释 617

15.5　欧几里得公设的球面解释 617

15.6　帕什的公设 618

15.7　一个抽象的数学体系 618

15.8　公理学 619

15.9　发生联系的假言命题 620

15.10　直观与证明 620

15.11　一个小型数学体系 621

15.12　一组不相容的命题 622

15.13　与相对论有关的公设集 622

15.14　蜜蜂和蜂群　 622

15.15　度量空间 623

15.16　相等的线段　 624

15.17　一些可数的和不可数的集合 624

15.18　高为1,2,3,4和5的多项式 624

15.19　可数点集的测度 625

15.20　超限数和维数论 625

15.21　圆和线 625

15.22　同胚曲面 626

15.23　边和棱 626

15.24　帕拉德罗姆环 626

15.25　多面曲面 627

15.26　多面曲面的面和顶点　 627

15.27　豪斯多夫空间 628

15.28　有密切联系的命题 628

15.29　三值逻辑　 629

15.30　罗素悖论 629

15.31　一个悖论　 629

15.32　二难推理和疑问 630

15.33　数学游戏 630

论文题目 630

参考文献 631

总参考文献 642

年表 649

问题研究的答案和提示 660

索引 699

编辑手记 789