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前言 1

第1章 引言 1

1.1 偏微分方程的发展史 1

1.2 偏微分方程的理论研究 2

1.3 偏微分方程的基本概念与分类 3

1.3.1 偏微分方程的定义及各种经典的偏微分方程（组） 3

1.3.2 二阶线性偏微分方程的分类 8

1.3.3 一阶和高阶线性偏微分方程的分类 11

习题一 14

第2章 Sobolev空间 16

2.1 预备知识 16

2.1.1 几个常用的不等式 16

2.1.2 空间Ck （Ω）和C0k（Ω） 22

2.1.3 Lp空间的基本性质 23

2.1.4 磨光算子 28

2.1.5 截断函数或切断因子 32

2.1.6 单位分解 33

2.1.7 区域边界的局部拉平 34

2.1.8 Lebesgue积分 35

2.1.9 广义函数 36

2.1.10 线性算子的基本性质 39

2.2 整数次Sobolev空间Wm，p（Ω） 40

2.2.1 整数次Sobolev空间的定义 40

2.2.2 Wm，p（Ω）的性质 45

2.2.3 逼近 46

2.2.4 延拓 55

2.2.5 W0m ，p（Ω）空间及其对偶空间W-m，p′（Ω） 58

2.2.6 Sobolev不等式与嵌入定理 65

2.2.7 紧性—嵌入与紧嵌入 76

2.2.8 Poincaré不等式 79

2.2.9 差商与Sobolev空间 82

2.2.10 时空Sobolev空间 84

2.3 L2（Rn）中的Fourier变换 89

2.4 实指数的Sobolev空间Hs （Rn）和Hs（Ω） 98

2.4.1 实指数的Sobolev空间Hs （Rn）的定义及其性质 98

2.4.2 空间H-s （Rn），s＞0 100

2.4.3 Hs （Rn）中的嵌入定理 102

2.4.4 Hs （Rn）范数的内插 105

2.4.5 Hs （Rn）的等价范数 106

2.5 任意区域Ω上的分数次Sobolev空间Hs（Ω） 108

2.5.1 任意区域Ω上的分数次Sobolev空间Hs （Ω）的定义 108

2.5.2 Hs（Ω）中的嵌入定理 110

2.5.3 范数内插 111

2.6 迹与迹算子 112

习题二 117

第3章 二阶线性椭圆型方程 121

3.1 二阶线性椭圆型方程的定义 121

3.1.1 二阶线性椭圆型方程的基本概念 121

3.1.2 第一边值问题弱解的定义 123

3.2 第一边值问题弱解的存在性 125

3.2.1 Lax-Milgram定理 125

3.2.2 能量估计 131

3.3 二阶线性椭圆型方程的其他边值问题 134

3.3.1 弱解定义的基本思想 134

3.3.2 其他边值问题弱解定义的一些例子 137

3.4 极值原理 139

3.4.1 古典解的极值原理 140

3.4.2 弱解的极值原理与De Giorgi迭代 144

3.5 Fredholm抉择性质的应用—二阶椭圆型方程解的存在性准则 150

3.6 椭圆型方程的特征值问题 155

3.7 解的正则性 157

3.7.1 解的正则性的基本思想与差商方法 158

3.7.2 弱解的内部正则性 160

3.7.3 弱解的全局正则性 163

3.8 线性椭圆型方程边值问题的其他存在性结论 167

习题三 170

第4章 二阶线性抛物型方程 172

4.1 二阶线性抛物型方程的定义与定解问题 172

4.2 古典解的极值原理 174

4.2.1 古典解的弱极值原理 174

4.2.2 Harnack不等式 177

4.2.3 古典解的强极值原理 178

4.2.4 Cauchy问题的最大值原理（Ω＝Rn情形） 180

4.3 古典解的唯一性与能量方法 182

4.3.1 唯一性 182

4.3.2 能量不等式 184

4.4 Galerkin方法与弱解的存在唯一性 184

4.4.1 弱解的定义 184

4.4.2 Galerkin方法 185

4.4.3 Galerkin近似 186

4.4.4 能量估计 187

4.4.5 存在性与唯一性 190

4.4.6 弱解的等价定义、弱解的极值原理与De Giorgi迭代 192

4.4.7 Galerkin方法的更进一步应用 198

4.5 弱解的正则性 200

4.5.1 弱解正则性的基本思想及正则性估计的形式获得 200

4.5.2 弱解的正则性理论 202

4.6 Lions定理与发展型偏微分方程 208

4.6.1 Lions定理 208

4.6.2 Lions定理的应用—抛物型方程弱解的存在性 210

4.6.3 复值Lions定理及其应用—Schr?dinger方程弱解的存在性 220

4.7 线性抛物型方程的Schauder理论和Lp理论 222

习题四 224

第5章 二阶线性双曲型方程 226

5.1 二阶线性双曲型方程的定义与定解问题 226

5.2 Galerkin方法与弱解的存在性和正则性 228

5.2.1 弱解的定义 228

5.2.2 弱解的存在性 229

5.2.3 弱解的正则性 234

5.3 Lions定理和双曲型方程 238

5.3.1 实值Lions定理和双曲型方程 238

5.3.2 复值Lions定理和双曲型方程弱解的存在唯一性 242

习题五 247

第6章 一阶线性双曲型方程 249

6.1 特征线方法与一阶线性双曲型方程式 249

6.1.1 特征线方法 249

6.1.2 例子 251

6.2 一阶线性双曲型偏微分方程组 255

6.2.1 定义 255

6.2.2 对称双曲系统与黏性消失法 256

习题六 263

参考文献 264