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引言 1

第1章 数与集合 3

1.1 集合 3

1.2 映射，势 5

1.3 自然数序列 5

1.4 有限与可数集合 9

1.5 分类 11

第2章 群 12

2.1 群的概念 12

2.2 子群 20

2.3 群子集的运算，陪集 23

2.4 同构与自同构 26

2.5 同态，正规子群，商群 28

第3章 环与域 32

3.1 环 32

3.2 同态与同构 39

3.3 商的构成 39

3.4 多项式环 42

3.5 理想，同余类环 46

3.6 整除性，素理想 50

3.7 Euclid环与主理想环 51

3.8 因子分解 55

第4章 向量空间和张量空间 59

4.1 向量空间 59

4.2 维数不变性 61

4.3 对偶向量空间 64

4.4 体上的线性方程组 65

4.5 线性变换 67

4.6 张量 71

4.7 反对称双线性型与行列式 73

4.8 张量积，缩并与迹 77

第5章 多项式 80

5.1 微分法 80

5.2 多项式的零点 81

5.3 内插公式 83

5.4 因子分解 87

5.5 不可约性判定标准 90

5.6 因子分解在有限步下的完成 93

5.7 对称函数 94

5.8 两个多项式的结式 97

5.9 结式作为根的对称函数 100

5.10 有理函数的部分分式分解 102

第6章 域论 105

6.1 子体，素体 105

6.2 添加 107

6.3 单纯域扩张 108

6.4 域的有限扩张 112

6.5 域的代数扩张 114

6.6 单位根 118

6.7 Galois域（有限域） 123

6.8 可分与不可分扩张 126

6.9 完全域及不完全域 131

6.10 代数扩张的单纯性，本原元素定理 132

6.11 范数与迹 133

第7章 群论续 138

7.1 带算子的群 138

7.2 算子同构和算子同态 140

7.3 两个同构定理 141

7.4 正规群列与合成群列 142

7.5 pn阶群 146

7.6 直积 147

7.7 群的特征标 150

7.8 交错群的单纯性 154

7.9 可迁性与本原性 156

第8章 Galois理论 159

8.1 Galois群 159

8.2 Galois理论的基本定理 161

8.3 共轭的群、域与域的元素 163

8.4 分圆域 165

8.5 循环域与纯粹方程 171

8.6 用根式解方程 173

8.7 n次一般方程 176

8.8 二次、三次与四次方程 179

8.9 圆规与直尺作图 185

8.10 Galois群的计算，具有对称群的方程 188

8.11 正规基 192

第9章 集合的序与良序 197

9.1 有序集合 197

9.2 选择公理与Zorn引理 198

9.3 良序定理 200

9.4 超限归纳法 201

第10章 无限域扩张 203

10.1 代数封闭域 203

10.2 单纯超越扩域 208

10.3 代数相关性与无关性 211

10.4 超越次数 214

10.5 代数函数的微分法 216

第11章 实域 222

11.1 有序域 222

11.2 实数的定义 225

11.3 实函数的零点 233

11.4 复数域 237

11.5 实域的代数理论 239

11.6 关于形式实域的存在定理 243

11.7 平方和 246

索引 248