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第1章 函数 1

1.1函数及其图形 1

函数，定义域与值域 1

函数的图形 2

用数值表表示函数 4

分段定义的函数 4

垂直线检验法 5

函数类型 6

增函数与减函数 9

偶函数与奇函数：函数的对称性 10

习题1.1 11

1.2函数组合及移动图形与改变图形标度 13

函数的和、差、积及商 13

复合函数 14

移动函数图形 15

改变函数图形标度与反射函数图形 16

椭圆 17

习题1.2 18

1.3三角函数 21

角 21

6个基本三角函数 22

三角函数的周期性和图形 23

三角恒等式 24

余弦定律 25

三角函数图形的变换 25

习题1.3 26

1.4指数函数 28

指数的性质 28

自然指数函数ex 30

指数增长与指数衰减 30

习题1.4 32

1.5反函数与对数函数 32

一对一函数 33

反函数 33

求反函数 34

对数函数 36

对数函数的性质 37

对数函数的应用 38

反三角函数 39

反正弦函数与反余弦函数 40

包含反正弦函数和反余弦函数的恒等式 41

习题1.5 42

1.6用计算器和计算机作图 44

习题1.6 48

第2章 极限与连续性 49

2.1曲线的变化率和切线 49

平均速率与瞬时速率 49

平均变化率与割线 50

曲线的斜率 50

瞬时变化率 52

习题2.1 53

2.2函数的极限和极限法则 54

函数值的极限 54

极限法则 57

用代数方法消去零分母 58

用计算器和计算机估计极限 58

夹层定理 60

习题2.2 61

2.3极限的精确定义 65

极限的定义 65

例子：检验极限定义 67

用代数方法求给定ε的δ 68

用极限定义证明定理 70

习题2.3 70

2.4单侧极限与在无穷大的极限 74

单侧极限 75

单侧极限的精确定义 76

包含（sinθ）／θ的极限 77

当x→±∞时的有限极限 79

有理函数在无穷大的极限 81

水平渐近线 81

再讨论夹层定理 82

斜渐近线 83

习题2.4 83

2.5无穷极限与垂直渐近线 86

无穷极限 86

无穷极限的精确定义 88

垂直渐近线 89

习题2.5 91

2.6连续性 93

在一点的连续性 93

连续函数 95

反函数与连续性 96

复合函数 96

对一点的连续延拓 98

连续函数的介值定理 99

习题2.6 100

2.7在一点的切线和导数 102

求函数图形的切线 102

变化率：在一点的导数 104

小结 104

习题2.7 104

第2章复习指导问题 106

第2章实习习题 107

第2章补充和提高习题 109

第3章 微分法 112

3.1把导数作为一种函数 112

从定义求导数 112

记号 113

描绘导数的图形 113

在区间上的可微函数和单侧导数 113

什么情况下函数在一点没有导数 115

可微函数是连续的 116

导数的介值性质（达布定理） 116

习题3.1 117

3.2多项式、指数函数及函数积与商求导数法则 119

幂函数、倍数函数及函数和与差的导数 119

指数函数的导数 123

函数的积和商的导数 124

二阶导数与高阶导数 126

习题3.2 127

3.3把导数作为一种变化率 129

瞬时变化率 129

沿直线运动的位移、速度、速率、加速度和冲击 129

经济学中的导数 133

习题3.3 134

3.4三角函数的导数 138

正弦函数的导数 138

余弦函数的导数 139

简谐运动 140

其他基本三角函数的导数 140

习题3.4 141

3.5链式法则与参数方程 143

复合函数的导数 144

“外函数-内函数”法则 145

重复应用链式法则 146

函数幂的链式法则 146

参数方程 147

参数化曲线的斜率 149

习题3.5 150

3.6隐式微分法 154

隐式定义的函数 155

透镜、切线和法线 157

高阶导数 158

习题3.6 158

3.7反函数和对数函数的导数 160

可微函数反函数的导数 160

反函数的参数表示 162

自然对数函数的导数 162

au和log a u的导数 163

对数微分法 165

幂法则（一般形式）的证明 165

数e的极限表示 166

习题3.7 166

3.8反三角函数 168

tan x ， cot x ， sec x和csc x的反函数 168

y＝sin-1u的导数 170

y ＝ tan-1u的导数 170

y＝sec-1u的导数 171

其他3个反三角函数的导数 172

习题3.8 172

3.9相关变化率 174

习题3.9 178

3.10线性化与微分 182

线性化 182

微分 184

用微分作估计 185

微分逼近中的误差 186

链式法则的证明 187

变化的灵敏度 187

习题3.10 187

3.11双曲函数 190

定义与恒等式 190

双曲函数的导数 191

反双曲函数 192

有用的恒等式 193

反双曲函数的导数 193

习题3.11 194

第3章复习指导问题 196

第3章实习习题 197

第3章补充和提高习题 202

第4章 导数的应用 205

4.1函数的极值 205

局部（相对）极值 207

求极值 207

习题4.1 209

4.2中值定理 212

罗尔定理 212

中值定理 213

物理解释 215

数学推论 215

由加速度求速度和位置 216

对数法则的证明 216

指数法则 217

习题4.2 218

4.3单调函数与一阶导数检验法 220

增函数与减函数 220

局部极值的一阶导数检验法 221

习题4.3 223

4.4凹性与曲线绘图 224

凹性 225

拐点 226

局部极值二阶导数检验法 227

来源于导数的函数图形特性 230

习题4.4 231

4.5实用的最优化 234

商业和工业中的例子 234

数学和物理学中的例子 236

经济学中的例子 237

习题4.5 238

4.6不定式与洛必达法则 245

不定式0/0 245

不定式∞/∞，∞·0和∞-∞ 247

不定幂 248

洛必达法则的证明 249

习题4.6 250

4.7牛顿法 252

牛顿法的步骤 252

应用牛顿法 253

逼近的收敛性 254

习题4.7 254

4.8反导数 256

求反导数 256

初值问题与微分方程 258

反导数与运动 259

不定积分 260

习题4.8 261

第4章复习指导问题 265

第4章实习习题 266

第4章补充和提高习题 270

第5章 积分法 274

5.1用有限和作估计 274

面积 274

物体的移动距离 276

物体的位移和移动距离 278

非负函数的平均值 278

小结 280

习题5.1 280

5.2有限和的∑记号和极限 282

有限和与∑记号 282

有限和的极限 284

黎曼和 285

习题5.2 287

5.3定积分 288

黎曼和的极限 288

定积分的记号和存在性 289

可积函数与不可积函数 290

定积分的性质 291

非负函数图形下方的面积 293

再讨论连续函数的平均值 295

习题5.3 296

5.4微积分基本定理 299

定积分的中值定理 299

基本定理第1部分 300

基本定理第2部分（求值定理） 302

总面积 303

习题5.4 305

5.5不定积分与代换法则 307

代换：反向运用链式法则 307

sin2x和cos2x的积分 310

习题5.5 311

5.6代换与曲线之间的面积 312

代换公式 312

对称函数的定积分 314

曲线之间的面积 315

对于y积分 317

习题5.6 318

5.7把对数函数定义为积分 322

自然对数函数的定义 322

y＝ln x的导数 323

ln x的图形和值域 324

积分∫（1／u）du 324

lnx的反函数与数e 325

ex的导数和积分 326

指数函数的法则 327

一般指数函数ax 327

以a为底的对数函数 328

涉及logax的导数和积分 329

小结 330

习题5.7 330

第5章复习指导问题 331

第5章实习习题 332

第5章补充和提高习题 335

第6章 定积分的应用 341

6.1通过绕轴切片和旋转定义体积 341

旋转体：圆盘方法 343

旋转体：垫圈方法 346

习题6.1 348

6.2用圆柱壳定义体积 350

习题6.2 354

6.3平面曲线的长度 356

以参数方式定义的曲线的长度 356

曲线y＝f（x）的长度 358

处理dy／dx的不连续点 359

短微分公式 360

习题6.3 360

6.4旋转曲面的面积 362

定义曲面面积 362

绕y轴旋转 365

参数化曲线 366

习题6.4 366

6.5指数变化与可分离微分方程 369

指数变化 369

可分离微分方程 370

无限制的种群增长 371

放射性衰变 372

热传递：牛顿冷却定律 373

习题6.5 374

6.6功 376

由恒力作的功 377

由可变力沿直线作的功 377

弹簧的虎克定律：F＝kx 377

从容器抽出液体 379

习题6.6 380

6.7矩与质心 383

沿直线分布的质量 383

在平面区域上分布的质量 384

薄平板 385

形心 388

习题6.7 389

第6章复习指导问题 390

第6章实习习题 391

第6章补充和提高习题 393

第7章 积分方法 395

7.1分部积分法 395

积分型积法则 395

分部求定积分 398

习题7.1 398

7.2三角积分 400

正弦函数和余弦函数乘方之积的积分 400

消去平方根 402

tan x和secx乘方的积分 402

正弦函数和余弦函数之积的积分 403

习题7.2 404

7.3三角代换 404

习题7.3 407

7.4有理函数部分分式积分法 407

习题7.4 411

7.5积分表与计算机代数系统 413

积分表 413

归约公式 414

用CAS求积分 414

非初等积分 416

习题7.5 416

7.6数值积分 418

梯形逼近 418

辛普森法则：用抛物线逼近 419

误差分析 421

习题7.6 424

7.7反常积分 426

无穷积分限 426

积分∫∞ 1dx/xp 428

带垂直渐近线的被积函数 429

收敛与发散检验法 431

习题7.7 433

第7章复习指导问题 435

第7章实习习题 436

第7章补充和提高习题 438

第8章 无穷序列与无穷级数 440

8.1序列 440

收敛性与发散性 441

求序列的极限 443

用洛必达法则求极限 444

常见的序列极限 445

序列的递归定义 446

有界非减序列 446

习题8.1 447

8.2 无穷级数 451

等比级数 452

发散级数 454

发散性第n项检验法 454

组合级数 455

增添项或删除项 456

改变下标 456

习题8.2 457

8.3积分检验法 458

非减部分和 458

积分检验法 459

误差估计 461

习题8.3 462

8.4比较检验法 463

比较检验法 463

极限比较检验法 464

习题8.4 466

8.5比率检验法与根检验法 467

比率检验法 467

根检验法 468

习题8.5 470

8.6交错级数，绝对收敛与条件收敛 471

绝对收敛与条件收敛 473

级数重排 474

习题8.6 474

8.7幂级数 476

幂级数与收敛性 476

幂级数的收敛半径 479

逐项微分 480

逐项积分 481

幂级数的乘法 481

习题8.7 482

8.8泰勒级数与麦克劳林级数 483

级数表示法 483

泰勒级数与麦克劳林级数 484

泰勒多项式 485

习题8.8 487

8.9泰勒级数的收敛性 488

余式估计 490

应用泰勒级数 491

欧拉恒等式 492

泰勒定理的证明 493

习题8.9 494

8.10二项式级数 496

幂和根的二项式级数 496

常用级数 498

习题8.10 498

第8章复习指导问题 499

第8章实习习题 500

第8章补充和提高习题 502

第9章 极坐标与圆锥曲线 504

9.1极坐标 504

极坐标的定义 504

极方程与图形 505

极坐标同笛卡儿坐标的关系 506

习题9.1 507

9.2在极坐标中作图 508

对称性 508

斜率 509

作图的方法 510

习题9.2 512

9.3极坐标中的面积和长度 512

平面区域的面积 512

极曲线的长度 514

习题9.3 515

9.4圆锥曲线 516

抛物线 516

椭圆 518

双曲线 519

习题9.4 521

9.5极坐标中的圆锥曲线 523

离心率 524

极方程 526

直线 527

圆 527

习题9.5 528

9.6圆锥曲线与参数方程，摆线 530

抛物线与双曲线 530

摆线 530

捷线与等时线 531

习题9.6 532

第9章复习指导问题 533

第9章实习习题 533

第9章补充和提高习题 535

第10章 向量与空间几何学 537

10.1三维坐标系 537

空间中的笛卡儿坐标系 537

空间中的距离和球面 538

习题10.1 540

10.2向量 541

分量形式 541

向量的代数运算 543

单位向量 546

线段的中点 547

习题10.2 547

10.3点积 549

向量之间的角 549

垂直（正交）向量 551

点积性质与向量投影 551

功 553

习题10.3 554

10.4向量积 556

空间中两个向量的向量积 556

｜u×v｜是一个平行四边形的面积 557

u×v的行列式公式 558

转矩 559

三重纯量积或框积 559

习题10.4 560

10.5空间中的直线和平面 562

空间中的直线和线段 562

空间中从点到直线的距离 564

空间中平面的方程 564

平面的交线 565

从点到平面的距离 566

平面之间的角 567

习题10.5 567

10.6柱面与二次曲面 569

柱面 569

二次曲面 570

习题10.6 574

第10章复习指导问题 576

第10章实习习题 576

第10章补充和提高习题 578

第11章 空间中的向量值函数和物体的运动 581

11.1向量函数及其导数 581

极限与连续性 582

导数与运动 583

微分法则 585

定长向量的向量函数 586

习题11.1 586

11.2向量函数的积分 588

向量函数的积分 588

理想抛体运动的向量方程和参数方程 590

习题11.2 592

11.3空间中的弧长 594

沿空间曲线的弧长 594

质点沿光滑曲线运动的速率 596

单位切向量T 596

习题11.3 597

11.4曲线的曲率 598

平面曲线的曲率 598

平面曲线的曲率圆 601

空间曲线的曲率和法向量 602

习题11.4 603

11.5加速度的切分量和法分量 604

TNB标架 604

加速度的切分量和法分量 604

挠率 606

计算公式 607

习题11.5 608

11.6极坐标中的速度和加速度 609

极坐标和柱面坐标中的运动 609

行星的平面运动 610

开普勒第一定律（椭圆定律） 611

开普勒第二定律（等面积定律） 611

开普勒第三定律（时间-距离定律） 612

习题11.6 612

第11章复习指导问题 612

第11章实习习题 613

第11章补充和提高习题 615

第12章 偏导数 617

12.1多元函数 617

定义域与值域 617

二元函数 618

二元函数的图形、层曲线和等值曲线 619

三元函数 620

计算机绘图 622

习题12.1 623

12.2高维空间中函数的极限和连续性 625

极限 625

连续性 627

多于两个变量的函数 629

闭有界集上的连续函数的极值 630

习题12.2 630

12.3偏导数 632

二元函数的偏导数 632

偏导数的求法 634

多于两个变量的函数 636

偏导数与连续性 636

二阶偏导数 637

混合导数定理 638

更高阶的偏导数 639

可微性 639

习题12.3 640

12.4链式法则 642

二元函数 642

三元函数 644

在曲面上定义的函数 644

再讨论隐式微分法 646

多元函数 647

习题12.4 647

12.5方向导数与梯度向量 650

平面内的方向导数 650

方向导数的物理解释 651

方向导数的求法与梯度 651

梯度与层曲线的切线 653

三元函数 655

习题12.5 656

12.6切平面与微分 657

切平面与法线 657

估计函数在特定方向的改变 659

二元函数如何线性化 659

微分 660

多于两个变量的函数 661

习题12.6 662

12.7极值与鞍点 664

局部极值导数检验法 665

有界闭区域上函数的绝对极大值和绝对极小值 668

习题12.7 670

12.8拉格朗日乘数 673

受约束极大值和极小值 673

拉格朗日乘数法 675

受双重约束的拉格朗日乘数 678

习题12.8 679

12.9二元函数的泰勒公式 682

二阶导数检验法的推导 682

线性逼近的误差公式 683

二元函数的泰勒公式 683

习题12.9 685

第12章复习指导问题 685

第12章实习习题 686

第12章补充和提高习题 689

第13章 多重积分 692

13.1矩形区域上的二重积分和累次积分 692

二重积分 692

二重积分作为体积 693

求二重积分的傅比尼定理 693

习题13.1 696

13.2一般区域上的二重积分 696

有界非矩形区域上的二重积分 696

体积 697

求积分限 700

二重积分的性质 701

习题13.2 702

13.3用二重积分求面积 704

平面内有界区域的面积 704

平均值 705

习题13.3 706

13.4极型二重积分 707

极坐标中的积分 707

求积分限 708

变换笛卡儿坐标积分为极坐标积分 709

习题13.4 710

13.5直角坐标中的三重积分 711

三重积分 711

空间区域的体积 712

求积分限 712

空间中函数的平均值 715

三重积分的性质 716

习题13.5 716

13.6矩与质心 719

质量与一阶矩 719

惯性矩 721

习题13.6 724

13.7柱面坐标和球面坐标中的三重积分 726

柱面坐标中的积分 726

如何求柱面坐标中的积分 728

球面坐标与积分 730

如何求球面坐标中的积分 732

习题13.7 734

13.8多重积分内的代换 738

二重积分内的代换 738

三重积分内的代换 741

习题13.8 744

第13章复习指导问题 745

第13章实习习题 746

第13章补充和提高习题 748

第14章 向量场中的积分 751

14.1线积分 751

可加性 752

质量和矩的计算公式 753

习题14.1 754

14.2向量场、功、环流和通量 756

向量场 756

梯度场 757

力沿空间曲线作的功 758

速度场的流量积分和环流 761

穿过平面曲线的通量 761

习题14.2 763

14.3路径独立性、势函数和守恒场 765

路径独立性 765

关于曲线、向量场和定义域的假定 766

守恒场中的线积分 766

求守恒场的势函数 769

恰当微分形式 771

习题14.3 772

14.4平面内的格林定理 773

散度 774

绕轴旋转：旋度的k分量 775

格林定理的两种形式 776

利用格林定理求线积分 777

对特殊区域的格林定理的证明 778

习题14.4 779

14.5曲面与面积 782

曲面的参数表示 782

曲面面积 783

隐式曲面 786

习题14.5 788

14.6面积分与通量 791

面积分 791

定向 792

关于通量的面积分 793

薄壳的矩和质量 794

习题14.6 796

14.7斯托克斯定理 797

斯托克斯定理 798

以叶片轮解释？×F 800

对多面曲面的斯托克斯定理的证明 802

带空洞曲面的斯托克斯定理 803

一个重要恒等式 803

守恒场与斯托克斯定理 803

习题14.7 804

14.8散度定理与统一理论 805

三维向量场中的散度 806

散度定理 806

对特殊区域的散度定理的证明 807

其他区域的散度定理 809

高斯定律：电磁理论四大定律之一 810

流体动力学的连续性方程 811

统一不同积分定理 812

习题14.8 813

第14章复习指导问题 815

第14章实习习题 815

第14章补充和提高习题 818

附录A 821

A.1实数与实线 821

A.2数学归纳法 826

A.3直线、圆和抛物线 828

A.4三角公式 837

A.5极限定理的证明 839

A.6常见的极限 842

A.7实数理论 843

A.8向量积的分配律 845

A.9混合导数定理与增量定理 846

附录B 851

B.1基本代数公式 851

B.2几何公式 852

B.3积分简表 853

B.4级数 858

B.5向量运算符公式（笛卡儿坐标形式） 859

B.6极限 860

B.7微分法则 860

B.8积分法则 861