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第八章 重积分 1

§1 以二重积分的概念 1

1.平面集合的面积 1

2.二重积分的定义 5

3.可积的必要条件与充分条件 7

4.二重积分的基本性质 9

习题8.1 11

§2 二重积分的计算 13

1.化二重积分为累次积分 13

2.利用对称性化简计算 20

3.极坐标下二重积分的计算 22

习题8.2 28

§3 二重积分的一般变量替换法则 30

习题8.3 39

§4 三重积分的概念与计算 40

1.三重积分的概念 40

2.三重积分的基本性质 42

3.三重积分的计算 43

4.三重积分的换元公式 49

5.柱坐标变换 50

6.球坐标变换 51

7.广义球坐标变换 54

习题8.4 55

§5 重积分应用举例 56

1.曲面面积 56

2.力矩与质心 59

3.转动惯量 63

4.引力 65

习题8.5 69

第九章 曲线积分与曲面积分 70

§1 第一型曲线积分 70

1.可求长曲线与弧长 70

2.第一型曲线积分的定义与性质 76

3.第一型曲线积分的计算 77

习题9.1 82

§2 第二型曲线积分 83

1.第二型曲线积分的概念 83

2.第二型曲线积分的计算 86

3.平面第二型曲线积分格林公式 90

4.平面第二型曲线积分与路径无关的条件 96

5.恰当微分形式与原函数 99

习题9.2 104

§3 曲面积分 105

1.关于曲面的基本概念 106

2.第一型曲面积分的定义 110

3.曲面的定向 114

4.第二型曲面积分 117

5.第二型曲面积分的计算 120

习题9.3 123

§4 奥—高公式与斯托克斯公式 124

1.奥—高公式 124

2.斯托克斯公式 129

习题9.4 133

§5 场论初步 135

1.场的基本概念 135

2.梯度与等值面 135

3.散度与通量 138

4.旋度与环量 139

习题9.5 142

第十章 无穷级数 143

§1 无穷级数的基本概念 143

1.无穷级数的概念 143

2.无穷级数的收敛与发散 144

3.收敛的必要条件 146

4.级数的柯西收敛原理 147

5.收敛级数的性质 150

习题10.1 154

§2 正项级数 155

1.正项级数收敛的充要条件 155

2.比较判别法 156

3.柯西判别法 161

4.达朗贝尔判别法 164

5.拉贝判别法 169

6.积分判别法 173

习题10.2 175

§3 任意项级数 177

1.交错级数 177

2.绝对收敛与条件收敛的概念 179

3.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 180

4.绝对收敛级数与条件收敛级数的性质 185

5.级数的乘法 192

习题10.3 197

§4 无穷乘积 198

1.无穷乘积的概念 198

2.无穷乘积的性质 201

3.无穷乘积的绝对收敛与条件收敛 206

习题10.4 212

第十一章 函数项级数 213

§1 函数序列的一致收敛性 213

1.函数序列的概念与基本问题 213

2.函数序列的一致收敛性 216

习题11. 1 224

§2 函数项级数 225

1.一般概念 225

2.函数项级数的一致收敛性 228

3.关于函数项级数的若干性质 236

习题11.2 240

§3 幂级数 242

1.收敛区间与收敛半径 243

2.收敛半径的计算 245

3.幂级数的性质 250

习题11.3 257

§4 泰勒级数 258

1.泰勒级数 259

2.函数的泰勒展开 261

3.其他形式的泰勒展开余项 264

4.初等函数的展开式 267

习题11.4 269

第十二章 广义积分与含参变量积分 270

§1 无穷积分 270

1.无穷积分的概念 270

2.无穷积分的柯西收敛原理 275

3.比较判别法 276

4.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 282

习题12.1 289

§2 瑕积分 290

1.瑕点与瑕积分 290

2.关于瑕积分的柯西收敛原理 295

3.比较判别法 296

4.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 300

5.瑕积分与无穷积分的联系 302

6.柯西主值与奇异积分 303

习题12.2 306

§3 含参变量积分 307

1.含参变量积分的概念 307

2.含参变量积分的连续性 307

3.积分号下求导 309

4.积分号的交换 313

习题12.3 315

§4 含参变量无穷积分 317

1.含参变量无穷积分的概念 317

2.含参变量无穷积分一致收敛的判别法 319

3.一致收敛的含参变量无穷积分的性质 324

4.迪尼定理 332

习题12.4 334

§5 含参变量瑕积分 335

习题12.5 342

§6 Г函数与B函数 342

1.Г函数 343

2.B函数 346

3.若干应用 350

习题12.6 352

第十三章 傅里叶级数与傅里叶积分 354

§1 三角函数系及其正交性 354

1.三角函数系 354

2.黎曼可积函数空间 355

3.三角函数系的正交性 356

习题13.1 357

§2 周期函数的傅里叶级数 358

1.以2π为周期的函数的傅里叶级数 358

2.以2π为周期的奇偶函数的傅里叶级数 361

3.任意周期的周期函数的傅里叶级数 363

4.定义在有穷区间上的函数的傅里叶级数 366

习题13.2 372

§3 傅里叶级数的收敛性 374

1.狄利克雷积分 374

2.黎曼引理 377

3.傅里叶级数的收敛性判别法 379

习题13.3 392

§4 均方逼近与贝塞尔不等式 394

1.均方逼近的概念 394

2.贝塞尔不等式 396

3.几何的解释 402

习题13.4 405

*§5 傅里叶积分与傅里叶变换 407

1.傅里叶积分 407

2.傅里叶变换 409

3.傅里叶变换的性质 413

4.应用举例 416

习题13.5 417

习题答案 418