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第1章 线性空间与线性变换 1

1.1 线性空间 1

一、集合与映射 1

二、线性空间及其性质 5

三、线性空间的基与坐标 9

四、基变换与坐标变换 11

五、线性子空间 16

六、子空间的交与和 20

习题1.1 25

1.2 线性变换及其矩阵 26

一、线性变换及其运算 27

二、线性变换的矩阵表示 34

三、特征值与特征向量 43

四、对角矩阵 57

五、不变子空间 60

六、Jordan标准形介绍 62

习题1.2 77

1.3 两个特殊的线性空间 80

一、Euclid空间的定义与性质 80

二、正交性 87

三、正交变换与正交矩阵 94

四、对称变换与对称矩阵 97

五、酉空间介绍 100

习题1.3 106

第2章 范数理论及其应用 109

2.1 向量范数及其性质 109

一、向量范数的概念及ιp范数 109

二、线性空间Vn上的向量范数的等价性 118

习题2.1 121

2.2 矩阵的范数 122

一、矩阵范数的定义与性质 122

二、几种常用的矩阵范数 127

习题2.2 132

2.3 范数的一些应用 132

一、矩阵的非奇异性条件 132

二、近似逆矩阵的误差—逆矩阵的摄动 134

三、矩阵的谱半径及其性质 135

习题2.3 138

第3章 矩阵分析及其应用 139

3.1 矩阵序列 139

习题3.1 142

3.2 矩阵级数 142

3.3 矩阵函数 149

一、矩阵函数的定义与性质 149

二、矩阵函数值的求法 153

三、矩阵函数的另一定义 160

习题3.3 163

3.4 矩阵的微分和积分 163

一、矩阵A（t）的导数与积分 163

二、其他微分概念 166

习题3.4 170

3.5 矩阵函数的一些应用 171

一、一阶线性常系数齐次微分方程组 171

二、一阶线性常系数非齐次微分方程组 174

习题3.5 177

第4章 矩阵分解 178

4.1 Gauss消去法与矩阵的三角分解 178

一、Gauss消去法的矩阵形式 178

二、矩阵的三角（LU）分解 182

三、其他三角分解及其算法 189

四、分块矩阵的拟LU分解与拟LDU分解 193

习题4.1 195

4.2 矩阵的QR分解 196

一、Givens变换与Householder变换 196

二、矩阵的QR（正交三角）分解 203

三、矩阵与Hessenberg矩阵的正交相似问题 215

习题4.2 219

4.3 矩阵的满秩分解 220

习题4.3 225

4.4 矩阵的奇异值分解 225

一、矩阵的正交对角分解 226

二、矩阵的奇异值与奇异值分解 227

三、矩阵正交相抵的概念 233

习题4.4 233

第5章 特征值的估计及对称矩阵的极性 235

5.1 特征值的估计 235

一、特征值的界 236

二、特征值的包含区域 245

三、扰动理论中的特征值估计 259

习题5.1 262

5.2 广义特征值问题 264

一、广义特征值问题的等价形式 264

二、特征向量的正交性 265

习题5.2 266

5.3 对称矩阵特征值的极性 266

一、实对称矩阵的Rayleigh商的极性 266

二、广义特征值的极小极大原理 271

三、矩阵奇异值的极小极大性质 274

习题5.3 277

5.4 矩阵的直积及其应用 277

一、直积的概念 278

二、线性矩阵方程的可解性 284

习题5.4 289

第6章 广义逆矩阵 290

6.1 投影矩阵 290

一、投影算子与投影矩阵 291

二、正交投影算子与正交投影矩阵 294

习题6.1 296

6.2 广义逆矩阵的存在、性质及构造方法 296

一、Penrose的广义逆矩阵定义 296

二、广义逆矩阵的性质及构造方法 298

三、Moore-Penrose逆的等价定义 305

习题6.2 307

6.3 广义逆矩阵的计算方法 308

一、利用Hermite标准形计算矩阵的｛1｝-逆和｛1,2｝-逆 308

二、利用满秩分解求广义逆矩阵 310

三、计算A＋的Zlobec公式 312

四、Greville方法 315

五、一些特殊分块矩阵的广义逆矩阵 319

六、计算一类实Hessenberg矩阵的广义逆 321

七、计算A＋的迭代方法 329

习题6.3 334

6.4 广义逆矩阵与线性方程组的求解 334

一、线性方程组的相容性、通解与广义｛1｝-逆 335

二、相容线性方程组的极小范数解与广义｛1,4)-逆 338

三、矛盾方程组的最小二乘解与广义｛1,3}-逆 340

四、矛盾方程组的极小范数最小二乘解与广义逆矩阵A+ 342

五、矩阵方程AXB=D的极小范数最小二乘解 343

习题6.4 344

6.5 约束广义逆和加权广义逆 346

一、约束广义逆 346

二、加权广义逆 348

习题6.5 351

6.6 Drazin广义逆 352

一、方阵的指标 352

二、Drazin逆 354

三、Drazin逆的谱性质 356

四、Drazin逆的计算方法 357

五、Drazin逆的特例—群逆 360

习题6.6 361

第7章 若干特殊矩阵类介绍 363

7.1 正定矩阵与正稳定矩阵 365

一、正定矩阵及一些矩阵不等式 365

二、正稳定矩阵 372

习题7.1 376

7.2 对角占优矩阵 377

一、强对角占优与不可约对角占优矩阵 377

二、具非零元素链对角占优矩阵 380

三、拟对角占优矩阵 381

四、半强对角占优矩阵 383

五、块对角占优矩阵 385

习题7.2 387

7.3 非负矩阵 387

一、非负矩阵 387

二、单调矩阵 389

三、矩阵的正则分裂及弱正则分裂 391

习题7.3 393

7.4 M矩阵与广义M矩阵 394

一、40个充要条件介绍 394

二、M矩阵 398

三、广义M矩阵 404

习题7.4 405

7.5 Toeplitz矩阵及其有关矩阵 407

一、Toeplitz矩阵与Hankel矩阵等 407

二、循环矩阵 412

三、其他特殊的T矩阵 416

7.6 其他特殊矩阵 417

一、Vandermonde矩阵 417

二、Hilbert矩阵 422

三、Hadamard矩阵 424

习题答案或提示 427

参考文献 447