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第一章 复数平面上的几何 1

1．复数平面 1

2．复平面上的几何学 3

3．线性变换（M？bius变换） 5

4．群与分群 6

5．Neumann球 9

6．交比 10

7．圆对 12

8．圆串（Pencil） 14

9．圆族（Bundle） 15

10．Hermite方阵 17

11．变换分类 21

12．广义线性群 23

13．射影几何的基本定理 25

第二章　非欧几何学 27

1．欧几里得几何学（抛物几何学） 27

2．球面几何学（椭圆几何学） 28

3．椭圆几何的一些性质 31

4．双曲几何（Lobachevskiǐ几何） 32

5．距离 33

6．三角形 36

7．平行公理 37

8．非欧运动分类 38

第三章 解析函数、调和函数的定义及例子 39

1．复变函数 39

2．保角变换（或称共形映射） 40

3．Cauchy-Riemann方程 43

4．解析函数 47

5．幂函数 49

6．Zhukovskiǐ函数 50

7．对数函数 51

8．三角函数 52

9．一般的幂函数 54

10．保角变换的基本定理 55

第四章　调和函数 57

1．中值定理 57

2．Poisson公式 58

3．奇异积分 62

4．Dirichlet问题 63

5．上半平面的Dirichlet问题 64

6．调和函数的展开式 66

7．Neumann问题 67

8．最大值最小值原理 69

9．调和函数序列 70

10．Schwarz引理 71

11．Liouville定理 73

12．保角变换的唯一性 74

13．映进映射 75

14．单连通域的Dirichlet问题 75

15．单连通域的Cauchy公式 77

第五章 点集论与拓扑学中的若干预备知识 79

1．收敛 79

2．紧致点集 80

3．Cantor-Hilbert对角线法 81

4．点集的类别 82

5．映射或变换 83

6．一致连续 84

7．拓扑映射 85

8．曲线 86

9．连通性 87

10．Jordan定理的特例 88

11．连通数 90

第六章　解析函数 92

1．解析函数的定义 92

2．一些几何概念 94

3．Cauchy定理 95

4．解析函数的微商 98

5．Taylor级数 100

6．Weierstrass重级数定理 102

7．由积分定义解析函数 106

8．Laurent级数 107

9．零点，极点 109

10．孤立奇点 111

11．无穷远点的解析性 113

12．Cauchy不等式 115

13．解析延拓 116

14．多值函数 118

15．奇点的位置 120

第七章 留数及其应用于定积分的计算 123

1．留数 123

2．有理函数沿圆周的积分 124

3．由-∞到＋∞的某种积分 125

4．某些包有正弦余弦的积分 127

5．积分∫∞0xa-1Q(x)dx 129

6．Γ函数 131

7．Cauchy主值 133

8．与动量问题有关的积分 135

9．极点与零点的个数 136

10．代数方程的根 137

11．级数求和 139

12．常系数线性微分方程 140

13．Bürmann,Lagrange公式 141

14．Poisson-Jensen公式 143

第八章 最大模原理与函数族 145

1．最大模原理 145

2．Phragmen-Lindel？f定理 147

3．Hadamard三圆定理 147

4．关于｜f（z）｜均值的Hardy定理 148

5．引理 149

6．一般均值定理 150

7．（Ip(r)）1/p 151

8．Vitali定理 152

9．囿函数族 155

10．正规族 156

第九章 整函数与亚纯函数 158

1．定义 158

2．Weierstrass分解定理 160

3．整函数的阶 161

4．Hadamard分解定理 164

5．Mittag-Leffler定理 165

6．ctg z与sin z的表示式 166

7．Γ函数 169

8．ζ函数 172

9．函数方程 174

10．球面收敛 176

11．亚纯函数的正规族 178

第十章　保角变换 180

1．重要内容概要 180

2．单叶函数 182

3．Taylor级数求逆 182

4．域的映像 185

5．单叶函数序列 186

6．边界与内部 186

7．Riemann映射定理 188

8．第二系数的估计 189

9．推论 192

10．Koebe之歪扭定理 193

11．Littlewood的估计 195

12．星形区 196

13．实系数 198

14．把三角形变为上半平面 199

15．Schwarz反射原理 202

16．把四边形变为上半平面 203

17．Schwarz-Christoffel法——把多边形变为上半平面 206

18．续 208

19．补充 211

第十一章　求和法 212

1．Cesáro求和法 212

2．H？lder求和法 215

3．与均值有关的两条引理 216

4．（C,k）与（H,k）等价性的证明 218

5．（C,α）求和 221

6．Abel求和法 222

7．一般求和法简介 223

8．Borel求和法 224

9．Hardy-Littlewood定理 228

10．Tauber定理 231

11．在收敛圆圆周上的渐近性质 233

12．Hardy-Littlewood定理 235

13．Littlewood的Tauber定理 239

14．解析性与收敛性 242

15．Borel多角形 245

第十二章 适合各种边界条件的调和函数 249

1．引言 249

2．Poisson方程 251

3．双调和方程 254

4．单位圆的双调和方程 256

5．Cauchy型积分的背景 257

6．Cauchy型积分 259

7．Sokhotskiǐ公式 260

8．Hilbert-Privalov问题 263

9．续 266

10．Riemann-Hilbert问题 267

11．混合边界值问题解答的唯一性 269

12．Keldysh-Sedov公式 271

13．其他域的Keldysh-Sedov公式 273

14．一个混合型偏微分方程 276

第十三章　Weierstrass的椭圆函数论 279

1．模 279

2．周期函数 281

3．周期整函数的展开式 282

4．基域 283

5．椭圆函数的一般性质 284

6．代数相关性 285

7．椭圆函数的两种理论 286

8．Weierstrass γ函数 287

9．γ（z）与γ′（z）的代数关系 289

10．函数ζ（z） 290

11．σ（z）函数 291

12．椭圆函数的一般表达式 293

13．加法公式 295

14．椭圆函数的积分 296

15．代数函数域 298

16．反问题 299

17．模变换 300

18．基域 302

19．基域纲 306

20．模群之构造 307

21．模函数的定义和性质 308

22．J（τ） 310

23．方程g2（w,w′）=a,g3（w,w′）=b的求解 313

24．任一模函数是J（τ）的有理函数 313

第十四章 Jacobi的椭圆函数 317

1．θ函数 317

2．θ函数的零点与无穷乘积的表达式 319

3．G=∞∏n=1（1-q2n） 321

4．用θ函数表椭圆函数 324

5．诸θ函数的平方的关系式 326

6．和差公式 327

7．θ函数的商所适合的微分方程 331

8．Jacobi的椭圆函数 332

9．周期性 333

10．解析性质 334

11．Weierstrass函数与Jacobi函数之间的关系 336

12．加法公式 336

13．把K,K′表为k,k′的函数 337

14．Jacobi椭圆函数的一些表达式 339

15．附记 340

名词索引 346