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第一篇 高等数学 3

第一章 函数 极限 连续 3

考点与要求 3

1 函 数 3

内容精讲 3

一、定义 3

二、重要性质、定理、公式 5

例题分析 6

一、求分段函数的复合函数 6

二、关于函数有界（无界）的讨论 7

2 极 限 8

内容精讲 8

一、定义 8

二、重要性质、定理、公式 9

三、计算极限的一些有关方法 10

例题分析 12

一、求函数的极限 13

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 18

三、含有｜x｜，e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限 21

四、无穷小的比较 21

五、数列的极限 22

六、极限运算定理的正确运用 26

3 函数的连续与间断 28

肉容精讲 28

一、定义 28

二、重要性质、定理、公式 29

例题分析 29

一、讨论函数的连续与间断 29

二、在连续条件下求参数 30

三、连续函数的零点问题 31

第二章 一元函数微分学 32

考点与要求 32

1 导数与微分，导数的计算 32

内容精讲 32

一、定义 32

二、重要性质、定理、公式 33

例题分析 36

一、按定义求一点处的导数 36

二、已知f（x）在某点x＝x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求 f（x）在x＝x0处的导数 38

三、绝对值函数的导数 42

四、由极限式表示的函数的可导性 43

五、导数与微分、增量的关系 44

六、求导数的计算题 44

2 导数的应用 47

内容精讲 47

一、定义 47

二、重要性质、定理、公式与方法 48

例题分析 50

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 50

二、渐近线 54

三、曲率与曲率圆 55

四、最大值、最小值问题 56

五、函数的值域，反函数及其定义域 57

3 中值定理、不等式与零点问题 59

内容精讲 59

一、重要定理 59

二、重要方法 60

例题分析 62

一、不等式的证明 62

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 67

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点 69

四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点 70

五、“双中值”问题 71

六、零点的个数问题 71

七、证明存在某ξ满足某不等式 73

八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系 74

第三章 一元函数积分学 76

考点与要求 76

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论 76

内容精讲 76

一、定义 76

二、重要性质、定理、公式 77

例题分析 78

一、分段函数的不定积分与定积分 78

二、定积分与原函数的存在性 80

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 81

2 不定积分与定积分的计算 84

内容精讲 84

一、基本积分公式 84

二、基本积分方法 85

例题分析 87

一、简单有理分式的积分 87

二、三角函数的有理分式的积分 88

三、简单无理式的积分 88

四、两种不同类型的函数相乘的积分 90

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 91

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 92

七、含参变量带绝对值号的定积分 94

八、积分计算杂例 95

3 反常积分及其计算 97

内容精讲 97

一、定义 97

二、重要性质、定理、公式 98

例题分析 99

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性 99

二、关于奇、偶函数的反常积分 101

4 定积分的应用 102

内容精讲 102

一、基本方法 102

二、重要几何公式与物理应用 103

例题分析 104

一、几何应用 104

二、物理应用 107

5 定积分的证明题 111

内容精讲 111

例题分析 111

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 111

二、由积分定义的函数求极限 113

三、积分不等式的证明 114

四、零点问题 121

第四章 向量代数与空间解析几何 124

考点与要求 124

1 向量代数 124

内容精讲 124

一、与向量有关的基本概念 124

二、向量的运算及性质 125

例题分析 126

一、向量的运算 126

二、向量运算的应用及向量的位置关系 128

2 平面与直线 129

内容精讲 129

一、平面方程 129

二、直线方程 129

三、平面与直线间的位置关系 129

例题分析 130

一、建立平面方程 130

二、建立直线方程 132

三、与平面和直线的位置关系有关的问题 134

3 空间曲面与曲线 136

内容精讲 136

一、旋转面及其方程 136

二、柱面及其方程 137

三、常见的二次曲面及图形 137

四、空间曲线及其方程 139

五、空间曲线的投影 139

例题分析 139

一、建立柱面方程 139

二、建立旋转面方程 140

三、建立空间曲线的投影曲线方程 141

第五章 多元函数微分学 143

考点与要求 143

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概念） 143

内容精讲 143

一、多元函数 143

二、二元函数的极限与连续 143

三、二元函数的偏导数与全微分 144

例题分析 146

一、讨论二重极限 146

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 147

三、讨论二元函数的可微性 148

2 多元函数的微分法 152

内容精讲 152

一、复合函数的偏导数与全微分 153

二、隐函数的偏导数与全微分 154

例题分析 155

一、求复合函数的偏导数与全微分 155

二、求隐函数的偏导数与全微分 163

3 极值与最值 168

内容精讲 168

一、无条件极值 168

二、条件极值 169

例题分析 169

一、无条件极值问题 169

二、条件极值（最值）问题 172

三、多元函数的最大（小）值问题 173

4 方向导数与梯度 多元微分在几何上的应用 泰勒定理 178

内容精讲 178

一、方向导数 178

二、梯度 178

三、曲面的切平面与法线 179

四、曲线的切线和法平面 179

五、泰勒定理 180

例题分析 180

一、有关方向导数与梯度 180

二、有关曲面的切平面和曲线的切线 183

三、泰勒定理 185

第六章 多元函数积分学 186

考点与要求 186

1 重积分 186

内容精讲 186

一、二重积分 186

二、三重积分 189

例题分析 191

一、计算二重积分 191

二、累次积分交换次序及计算 200

三、与二重积分有关的综合题 202

四、与二重积分有关的积分不等式问题 205

五、计算三重积分 208

六、三重积分的累次积分 211

2 曲线积分 212

内容精讲 212

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 212

二、对坐标的线积分（第二类线积分） 213

例题分析 215

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 215

二、对坐标的线积分（第二类线积分） 217

3 曲面积分 226

内容精讲 226

一、对面积的面积分（第一类面积分） 226

二、对坐标的面积分（第二类面积分） 227

例题分析 228

一、对面积的面积分（第一类面积分） 228

二、对坐标的面积分（第二类面积分） 231

4 场论初步 236

内容精讲 236

一、梯度 236

二、通量 236

三、散度 236

四、旋度 237

例题分析 237

一、梯度、旋度、散度的计算 237

5 多元积分的应用 238

内容精讲 238

例题分析 239

一、几何应用 239

二、求物理量 240

第七章 无穷级数 244

考点与要求 244

1 常数项级数 244

内容精讲 244

一、级数的概念与性质 244

二、级数的判敛准则 245

例题分析 246

一、正项级数敛散性的判定 246

二、交错级数敛散性的判定 250

三、任意项级数敛散性判定 251

四、有关常数项级数的证明题与综合题 256

2 幂级数 262

内容精讲 262

一、函数项级数及收敛域与和函数 262

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域 262

三、幂级数的性质 263

四、函数的幂级数展开 264

例题分析 264

一、求幂级数的收敛域 264

二、将函数展开为幂级数 267

三、级数求和 270

3 傅里叶级数 275

内容精讲 275

一、三角函数及其正交性 275

二、傅里叶级数 276

三、收敛性定理 276

四、周期为2π的函数的傅里叶展开 276

五、周期为2l的函数的傅里叶展开 277

例题分析 277

一、有关收敛定理的问题 277

二、将函数展开为傅里叶级数 278

第八章 微分方程 280

考点与要求 280

1 微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法 280

内容精讲 280

一、定义 280

二、几种特殊类型的一阶微分方程与某些可降阶的二阶方程的解法 281

例题分析 282

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题） 282

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题 284

三、积分方程化为微分方程求解 285

四、偏微分方程化为常微分方程求解 287

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解 288

六、与微分方程的解的一些有关问题的讨论 289

2 二阶及高阶线性微分方程 292

内容精讲 292

一、定义 292

二、重要性质、定理、公式 292

例题分析 294

一、识别类型，对号入座，按类型求解 294

二、用变量代换解微分方程 296

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解 298

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式 298

五、已知方程的解求方程 299

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系 300

七、欧拉方程求解 301

八、积分方程、偏微分方程化成常微分方程求解（续） 301

3 微分方程的应用 304

例题分析 304

一、几何问题 304

二、变化率问题 304

三、牛顿第二定律或运动等问题 305

四、微元法建立微分方程 306

第二篇 线性代数 309

第一章 行列式 309

考点与要求 309

内容精讲 309

例题分析 312

一、数字型行列式的计算 312

二、抽象型行列式的计算 319

三、行列式｜A｜是否为零的判定 321

四、关于代数余子式求和 322

第二章 矩 阵 324

考点与要求 324

内容精讲 324

1 矩阵的概念及运算 324

一、矩阵的概念 324

二、矩阵的运算 325

三、矩阵的运算规则 325

四、特殊矩阵 326

2 可逆矩阵 327

一、可逆矩阵的概念 327

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 327

三、逆矩阵的运算性质 327

四、求逆矩阵的方法 327

3 初等变换、初等矩阵 327

一、定义 328

二、初等矩阵与初等变换的性质 328

4 矩阵的秩 329

一、矩阵秩的概念 329

二、矩阵秩的公式 329

5 分块矩阵 329

一、分块矩阵的概念 329

二、分块矩阵的运算 330

例题分析 331

一、矩阵的概念及运算 331

二、特殊方阵的幂 334

三、伴随矩阵的相关问题 337

四、可逆矩阵的相关问题 339

五、初等变换、初等矩阵 342

六、矩阵秩的计算 343

第三章 向 量 347

考点与要求 347

内容精讲 347

1 n维向量的概念与运算 347

2 线性表出、线性相关 348

一、线性表出的概念 348

二、线性相关、线性无关的概念 348

三、线性表出、线性相关的重要定理 348

3 极大线性无关组、秩 349

一、极大线性无关组、向量组秩的概念 349

二、有关秩的定理 349

4 Schmidt正交化、正交矩阵 350

一、Schmidt正交化（正交规范化方法） 350

二、正交矩阵 350

5 向量空间 350

一、向量空间的概念 350

二、主要定理 351

例题分析 352

一、线性相关的判别 352

二、向量的线性表示 353

三、线性相关与线性无关的证明 355

四、秩与极大线性无关组 358

五、正交化、正交矩阵 360

六、向量空间 361

第四章 线性方程组 365

考点与要求 365

内容精讲 365

1 克拉默法则 365

2 齐次线性方程组 366

3 非齐次线性方程组 367

例题分析 368

一、线性方程组的基本概念题 368

二、线性方程组的求解 372

三、基础解系 378

四、Ax＝0的矩阵A的系数行向量和解向量的关系，由Ax＝0的基础解系反求A 380

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系 381

六、两个方程组的公共解 383

七、同解方程组 385

八、线性方程组的有关杂题 386

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 389

考点与要求 389

内容精讲 389

1 特征值、特征向量 389

一、特征值，特征向量 389

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵 389

三、特征值的性质 389

四、求特征值、特征向量的方法 390

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 390

一、相似矩阵 390

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 390

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 391

3 实对称矩阵的相似对角化 391

一、实对称阵 391

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 391

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 391

例题分析 392

一、特征值，特征向量的求法 392

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 396

三、关于特征向量 397

四、矩阵是否相似于对角阵的判别 397

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 400

六、由特征值、特征向量反求A 400

七、矩阵相似及相似标准形 402

八、相似对角阵的应用 407

第六章 二次型 411

考点与要求 411

内容精讲 411

1 二次型的概念、矩阵表示 411

一、二次型概念 411

二、二次型的矩阵表示 411

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型 412

一、二次型的标准形，规范形 412

二、化二次型为标准形，规范形 412

三、合同矩阵，合同二次型 413

3 正定二次型、正定矩阵 414

例题分析 414

一、二次型的矩阵表示 414

二、化二次型为标准形 415

三、合同矩阵、合同二次型 420

四、正定性的判别 422

五、正定二次型的证明 424

六、综合杂题 425

第三篇 概率论与数理统计 431

第一章 随机事件和概率 431

考点与要求 431

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 431

内容精讲 431

例题分析 433

2 概率、条件概率、独立性和五大公式 435

内容精讲 435

例题分析 436

3 古典概型与伯努利概型 441

内容精讲 441

例题分析 441

第二章 随机变量及其概率分布 444

考点与要求 444

1 随机变量及其分布函数 444

内容精讲 444

例题分析 445

2 离散型随机变量和连续型随机变量 445

内容精讲 445

例题分析 446

3 常用分布 448

内容精讲 448

例题分析 450

4 随机变量函数的分布 454

内容精讲 454

例题分析 454

第三章 多维随机变量及其分布 456

考点与要求 456

1 二维随机变量及其分布 456

内容精讲 456

例题分析 458

2 随机变量的独立性 463

内容精讲 463

例题分析 463

3 二维均匀分布和二维正态分布 470

内容精讲 470

例题分析 471

4 两个随机变量函数Z＝g（X，Y）的分布 473

内容精讲 473

例题分析 474

第四章 随机变量的数字特征 481

考点与要求 481

1 随机变量的数学期望和方差 481

内容精讲 481

例题分析 483

2 矩、协方差和相关系数 490

内容精讲 490

例题分析 491

第五章 大数定律和中心极限定理 498

考点与要求 498

内容精讲 498

例题分析 499

第六章 数理统计的基本概念 501

考点与要求 501

1 总体、样本、统计量和样本数字特征 501

内容精讲 501

例题分析 502

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 504

内容精讲 504

例题分析 506

第七章 参数估计 510

考点与要求 510

1 点估计 510

内容精讲 510

例题分析 510

2 估计量的求法和区间估计 515

内容精讲 515

例题分析 517

第八章 假设检验 522

考点与要求 522

内容精讲 522

例题分析 523