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第1章 常微分方程初、边值问题数值解法 1

1.1 引言 1

1.2 Euler方法 3

1.2.1 Euler方法及其几何意义 3

1.2.2 Euler方法的误差分析 4

1.2.3 Euler方法的稳定性 6

1.2.4 改进的Euler方法 7

1.3 Runge-Kutta方法 8

1.3.1 显式Runge-Kutta方法 8

1.3.2 隐式Runge-Kutta方法 13

1.3.3 半隐式Runge-Kutta方法 16

1.3.4 单步法的稳定性和收敛性 17

1.4 线性多步方法 20

1.4.1 Adams外插法 20

1.4.2 Adams内插法 24

1.4.3 一般线性多步公式 26

1.5 线性多步法的稳定性和收敛性 29

1.5.1 线性差分方程 29

1.5.2 线性多步法的局部截断误差 32

1.5.3 线性多步法的稳定性和收敛性 35

1.5.4 绝对稳定性 40

1.6 预估-校正算法 47

1.7 刚性方程组的解法 54

1.8 解常微分方程边值问题的试射法 58

1.8.1 二阶线性常微分方程的试射法 60

1.8.2 二阶非线性常微分方程的试射法 61

1.9 解两点边值问题的有限差分方法 63

1.9.1 有限差分近似的基本概念 64

1.9.2 用差商代替导数的方法 66

1.9.3 积分插值法 68

1.9.4 解三对角方程组的追赶法 70

1.10 Hamilton系统的辛几何算法 71

1.10.1 辛几何与辛代数的基本概念 73

1.10.2 线性Hamilton系统的辛差分格式 76

1.10.3 辛Runge-Kutta方法 79

习题1 82

第2章 抛物型方程的差分方法 86

2.1 有限差分格式的基础 89

2.2 一维抛物型方程的差分方法 95

2.2.1 常系数热传导方程 95

2.2.2 变系数热传导方程 103

2.3 差分格式的稳定性和收敛性 106

2.3.1 ε图方法 106

2.3.2 稳定性分析的矩阵方法 108

2.3.3 Gerschgorin定理及其应用 120

2.3.4 稳定性分析的Fourier方法 124

2.3.5 Kreiss矩阵定理 132

2.3.6 能量方法 142

2.3.7 差分方程的收敛性 145

2.4 二维抛物型方程的差分方法 147

2.4.1 显式差分格式 148

2.4.2 隐式差分格式 151

2.4.3 差分格式的稳定性分析 153

2.4.4 交替方向隐式差分格式 156

2.4.5 辅助应变量的边界条件 161

习题2 163

第3章 双曲型方程的差分方法 168

3.1 一维双曲型方程的特征线方法 168

3.1.1 一阶线性双曲型方程 168

3.1.2 一阶拟线性双曲型方程 171

3.1.3 二阶拟线性双曲型方程 174

3.2 一维一阶线性双曲型方程的差分方法 179

3.2.1 双曲型方程的初值问题 179

3.2.2 双曲型方程的初边值问题 190

3.3 一维一阶线性双曲型方程组的差分方法 191

3.3.1 Lax-Friedrichs格式 192

3.3.2 Lax-Wendroff格式 194

3.3.3 Courant-Isaacson-Rees格式 196

3.4 高维一阶线性双曲型方程的差分方法 201

3.4.1 Lax-Wendroff格式 202

3.4.2 显式MacCormack格式 203

3.4.3 Strang分裂格式 204

3.5 二阶线性双曲型方程的差分方法 207

3.5.1 一维波动方程 207

3.5.2 二维波动方程 213

3.6 拟线性双曲型守恒律的差分方法 218

3.6.1 守恒律与弱解 218

3.6.2 熵条件和可容许解 228

3.6.3 守恒型差分方法 232

3.6.4 高分辨TVD格式 239

习题3 254

第4章 椭圆型方程的差分方法 258

4.1 Poisson方程边值问题的差分方法 259

4.1.1 五点差分格式 259

4.1.2 边界条件的离散 260

4.2 极坐标下Poisson方程的差分方法 266

4.3 Poisson方程的有限体积方法 267

4.4 差分方法的收敛性和误差估计 271

4.4.1 离散边值问题的可解性 271

4.4.2 差分格式的收敛性和误差估计 272

4.5 一般二阶线性椭圆型方程差分方法 274

4.6 椭圆型差分方程的迭代解法 278

4.6.1 迭代法的基本理论 278

4.6.2 Jacobi迭代方法和Gauss-Seidel迭代方法 281

4.6.3 逐次超松弛迭代法 287

4.6.4 相容次序和性质A 289

4.6.5 共轭梯度方法 294

4.7 多重网格方法 301

4.7.1 双重网格方法 302

4.7.2 多重网格方法 307

习题4 309

第5章 有限元方法 312

5.1 引言 312

5.2 变分原理 312

5.2.1 一个典型例子 312

5.2.2 二次泛函的变分问题 315

5.2.3 Ritz法与Galerkin法 317

5.3 几何剖分与分片插值 319

5.3.1 三角形单元剖分 320

5.3.2 三角形线性元与面积坐标 322

5.3.3 其他三角形Lagrange型单元 326

5.3.4 三角形Hermite型单元 329

5.3.5 矩形Lagrange型单元 331

5.3.6 矩形Hermite型单元 335

5.3.7 变分问题的有限元离散化 337

5.4 Sobolev空间初步 340

5.4.1 广义导数 340

5.4.2 Sobolev空间Hk（Ω）与Hko（Ω） 342

5.4.3 嵌入定理与迹定理 343

5.4.4 等价模定理 345

5.5 协调元的误差分析 346

5.5.1 Lax-Milgram定理 346

5.5.2 典型边值问题的适定性 348

5.5.3 投影定理 351

5.5.4 收敛性与误差估计 353

5.6 非协调有限元 356

5.6.1 非协调元的例子 356

5.6.2 非协调元的收敛性 357

5.7 自适应有限元 358

5.7.1 自适应方法简介 358

5.7.2 后验误差估计 359

习题5 363

第6章 边界元方法 372

6.1 引言 372

6.2 经典边界归化 373

6.2.1 调和边值问题、Green公式和基本解 373

6.2.2 间接边界归化 376

6.2.3 直接边界归化 380

6.3 自然边界归化 382

6.3.1 自然边界归化原理 382

6.3.2 典型域上的自然边界归化 384

6.3.3 自然积分算子的性质 389

6.4 边界积分方程的数值解法 390

6.4.1 配置法 390

6.4.2 Galerkin法 391

6.4.3 一类超奇异积分方程的数值解法 392

6.5 有限元边界元耦合法 393

6.5.1 有限元法与边界元法比较 393

6.5.2 自然边界元与有限元耦合法原理 394

6.6 无穷远边界条件的近似 397

6.6.1 人工边界上的近似边界条件 397

6.6.2 近似积分边界条件与误差估计 400

6.7 区域分解算法 400

6.7.1 有界区域的区域分解算法 400

6.7.2 基于边界归化的区域分解算法 403

习题6 406

参考文献 409

附录 冯康院士与科学计算 412