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第1章 古典概型 1

1.1古典概型的定义 1

1.2计算实例 2

1.3“球-盒”计数问题 5

1.4几何概率 7

1.5古典概型与统计物理 8

1.6概率研究的起源 10

1.7 Pascal-Fermat corre-spondence（Ⅰ） 11

第2章 概率论的公理化 14

2.1 Kolmogorov公理体系 14

2.2概率的基本性质 24

2.3实数集上的概率构造 31

2.4不可测集 33

2.5概率扩张的唯一性 34

2.6其他概率模型 35

第3章 随机变量与分布函数 39

3.1随机变量的基本概念 39

3.2随机向量 47

3.3分布函数 49

3.4随机对象 62

3.5简单函数逼近 63

3.6奇异连续分布与Lebesgue分解 65

第4章 离散随机变量 70

4.1离散随机变量的概念 70

4.2 Bernoulli分布 71

4.3二项分布 73

4.4 Poisson分布 81

4.5超几何分布 87

4.6几何分布 91

4.7负二项分布 93

4.8多周期二项模型定价公式 95

4.9匹配问题的推广 97

第5章 独立性 101

5.1独立性 101

5.2集合的运算 112

5.3 Borel-Cantelli引理 114

5.4 Lovasz局部引理 119

5.5 0-1律 123

5.6 Borel-Cantelli引理的推广 125

第6章 条件概率 129

6.1基本定义 129

6.2乘法公式与全概率公式 134

6.3 Bayesian公式 142

6.4条件概率的概率属性 145

6.5三门问题 152

6.6 Lovasz局部引理的证明 154

第7章 随机变量的期望 159

7.1期望的基本定义 159

7.2期望的线性性质 164

7.3方差及高阶矩 171

7.4熵的基本概念 185

7.5期望的概率空间定义 187

7.6矩问题 190

7.7熵与信息论 192

第8章 连续随机变量 196

8.1连续随机变量的基本概念 196

8.2最大熵优化 199

8.3典型的连续随机变量 202

8.4最大熵、相对熵与指数族分布 215

8.5 Hermite多项式 219

8.6指数分布的Monte Carlo模拟 222

第9章 随机变量的函数 226

9.1随机变量函数的分布 226

9.2随机变量的初等函数 228

9.3 Gamma函数 247

第10章 多元随机变量 253

10.1多元分布函数 253

10.2二元随机向量函数的分布 265

10.3二元随机向量映射的联合分布 276

10.4顺序统计量 281

第11章 条件期望与条件分布 287

11.1条件期望 287

11.2条件分布 307

11.3条件期望与Radon-Nikodym定理 318

11.4条件期望性质的证明 319

11.5条件期望的几何意义 321

第12章 特征函数 325

12.1基本定义 325

12.2基本性质 332

12.3逆转公式 337

12.4周期性 342

12.5多维特征函数 345

12.6特征函数的判定方法 348

12.7特征函数的解析性质 350

第13章 概率不等式 355

13.1集中不等式 355

13.2集中不等式的应用 366

13.3 Chernoff不等式的推广 375

第14章 大数定律 382

14.1大数定律的引入 382

14.2随机变量的收敛 383

14.3弱大数定律 386

14.4强大数定律 400

14.5强收敛与弱收敛 411

14.6定理14.5的证明 413

14.7一致大数定律 415

第15章 中心极限定理 421

15.1 de Moivre-Laplace定理 421

15.2依分布收敛 428

15.3中心极限定理 436

15.4 Skorokhod表示定理的证明 448

索引 452