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第一篇 微积分 2

第1章 预备知识与函数 2

1.1 预备知识 2

1.1.1 实数与数轴 2

1.1.2 实数的绝对值 2

1.1.3 区间 3

1.2 函数 3

1.2.1 函数的定义 3

1.2.2 函数的性质 5

1.2.3 反函数 7

1.2.4 基本初等函数 8

1.2.5 复合函数 10

第1章 习题 12

第2章 极限与连续 17

2.1 极限的概念 17

2.1.1 数列极限的定义 17

2.1.2 函数极限的定义 18

2.2 无穷大量与无穷小量 20

2.2.1 无穷大量 20

2.2.2 无穷小量 20

2.2.3 无穷大量与无穷小量的关系 21

2.2.4 无穷小量阶的比较 21

2.3 极限计算 21

2.3.1 利用极限的四则运算法则 21

2.3.2 直接代入法 22

2.3.3 利用有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量的性质法 22

2.3.4 倒数法 22

2.3.5 约去零因式法 23

2.3.6 无穷小量分出法 23

2.3.7 通分法 24

2.3.8 有理化法 24

2.3.9 变量代换法 25

2.3.10 利用lim x→0 sinx/x＝1计算相关极限 25

2.3.11 利用 lim x→∞（1＋1/x）＝e计算相关极限 26

2.3.12 利用等价无穷小替换求极限 27

2.4 函数的连续性 28

2.4.1 函数的改变量 28

2.4.2 函数在一点连续的定义 28

2.4.3 连续函数与连续区间 30

2.4.4 初等函数的连续性 30

2.4.5 分段函数的连续性 30

2.4.6 闭区间上连续函数的性质 31

2.5 应用实例 33

2.5.1 存贷款利息计算 33

2.5.2 自然增长模型 34

第2章 习题 35

第3章 导数与微分 40

3.1 导数概念 40

3.1.1 实例 40

3.1.2 导数的定义 41

3.1.3 导数的几何意义 42

3.1.4 左导数与右导数 43

3.1.5 可导与连续的关系 44

3.2 求导数的方法 44

3.2.1 基本初等函数求导公式 45

3.2.2 导数运算法则 45

3.2.3 反函数求导法则 46

3.2.4 复合函数求导法则（链式求导法则） 47

3.2.5 隐函数求导法 49

3.2.6 对数求导法 50

3.2.7 高阶导数 51

3.3 微分 52

3.3.1 微分的定义 52

3.3.2 导数与微分的关系 53

3.3.3 微分的几何意义 54

3.3.4 微分计算 54

3.3.5 微分的应用——近似计算 55

第3章 习题 56

第4章 导数应用 59

4.1 导数应用 洛必达法则 59

4.1.1 0/0型未定式 59

4.1.2 ∞/∞型未定式 60

4.1.3 其他类型的未定式 61

4.2 函数的单调性和极值 63

4.2.1 函数单调性 63

4.2.2 函数的极值 65

4.3 最值及其应用 68

4.3.1 闭区间上函数的最值 68

4.3.2 最值的应用 69

4.4 函数图形的描绘 74

4.4.1 曲线的凹向和拐点 74

4.4.2 曲线的渐近线 76

4.4.3 函数图形的描绘 78

4.5 导数在经济学中的应用 79

4.5.1 边际分析 79

4.5.2 弹性分析 81

4.5.3 相关变化率 84

4.5.4 最小二乘法 84

第4章 习题 88

第5章 不定积分 93

5.1 不定积分的概念 93

5.1.1 原函数 93

5.1.2 不定积分的概念 94

5.1.3 不定积分的几何意义 94

5.2 不定积分的性质 95

5.3 基本积分公式 96

5.4 换元积分法 98

5.4.1 第一类换元法（复合函数凑微分法） 98

5.4.2 第二类换元法 102

5.5 分部积分法 107

第5章 习题 109

第6章 定积分 112

6.1 定积分的概念和性质 112

6.1.1 从阿基米德的穷竭法谈起 112

6.1.2 曲边梯形的面积计算 112

6.1.3 定积分的概念 113

6.1.4 定积分的存在定理 115

6.1.5 定积分的性质 115

6.2 微积分基本定理 117

6.2.1 积分上限函数及其导数 118

6.2.2 微积分基本定理及其应用 119

6.3 定积分的计算方法 120

6.3.1 定积分的凑微分法 120

6.3.2 定积分的换元法 121

6.3.3 定积分的分部积分法 123

6.4 广义积分 124

6.4.1 无穷区间的广义积分 124

6.4.2 无界函数的广义积分 126

6.5 积分的应用 128

6.5.1 求原函数 128

6.5.2 求平面图形的面积 129

6.5.3 求旋转体的体积 130

6.5.4 求总量 131

6.5.5 求资产的未来价值与现行价值 132

第6章 习题 135

第7章 微分方程初步 142

7.1 微分方程的基本概念 142

7.2 可分离变量的一阶微分方程 144

7.3 一阶线性微分方程 146

7.3.1 一阶线性微分方程的概念 146

7.3.2 一阶线性齐次方程的解法 146

7.3.3 一阶线性非齐次微分方程的解法 147

7.4 可降阶的二阶微分方程 149

7.4.1 y”＝f（x）型的二阶微分方程 149

7.4.2 y”＝ fx，y’）（不显含未知函数y）型的二阶微分方程 150

7.4.3 y”＝f（y，y’）（不显含自变量x）型的二阶微分方程 150

7.5 微分方程的应用 151

第7章 习题 155

第二篇 线性代数 160

第8章 行列式 160

8.1 行列式的定义 160

8.1.1 二阶行列式 160

8.1.2 三阶行列式 161

8.1.3 n阶行列式 163

8.2 行列式的性质及计算 164

8.2.1 行列式的基本性质 164

8.2.2 行列式按行（列）展开定理 166

8.2.3 行列式的计算 168

第8章 习题 171

第9章 矩阵 174

9.1 矩阵的定义 174

9.1.1 引例 174

9.1.2 矩阵的概念 175

9.1.3 几种特殊矩阵 175

9.2 矩阵的运算 176

9.2.1 矩阵的加法运算 176

9.2.2 矩阵的数乘运算 177

9.2.3 矩阵的乘法运算 177

9.2.4 矩阵的逆 180

9.3 矩阵的初等变换 181

9.3.1 矩阵的初等行变换 181

9.3.2 求逆矩阵的初等变换法 183

9.4 案例 184

第9章 习题 188

第10章 线性方程组 191

10.1 克拉默法则解线性方程组 191

10.2 消元法解线性方程组 193

10.3 案例 198

第10章 习题 201

第三篇 概率论与数理统计 204

第11章 随机事件及概率 204

11.1 随机事件 204

11.1.1 随机现象 204

11.1.2 随机试验 204

11.1.3 样本空间 205

11.1.4 随机事件 205

11.1.5 事件的集合表示 206

11.1.6 事件的关系及其运算 206

11.1.7 事件的运算律 208

11.2 随机事件的概率 210

11.2.1 概率的统计定义 210

11.2.2 概率的古典定义 211

11.2.3 概率的公理化定义 212

11.3 条件概率 213

11.3.1 条件概率 213

11.3.2 乘法公式 214

11.4 事件的独立性 215

第11章 习题 216

第12章 随机变量及其分布 218

12.1 随机变量 218

12.2 离散型随机变量及其分布 219

12.3 随机变量的分布函数 221

12.3.1 随机变量的分布函数 221

12.3.2 离散型随机变量的分布函数 222

12.4 连续型随机变量及其分布 223

第12章 习题 230

第13章 随机变量的数字特征 232

13.1 随机变量的数学期望 232

13.1.1 数学期望的定义 232

13.1.2 随机变量函数的数学期望 235

13.1.3 随机变量的数学期望的性质 236

13.2 方差 237

13.2.1 方差的概念 237

13.2.2 随机变量的方差的性质 239

13.2.3 常见分布的期望和方差 239

第13章 习题 241

第14章 数理统计初步 243

14.1 总体与样本 243

14.2 统计量及其分布 244

14.2.1 统计量 244

14.2.2 几种常用统计量的分布 245

14.2.3 几个重要的抽样分布定理 246

14.3 统计推断 246

14.3.1 点估计方法 247

14.3.2 区间估计 249

14.4 假设检验 252

第14章 习题 259

习题参考答案 261