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第一编 揭开初等数学思维上的几面面纱 1

一、数学最突出的特征是抽象 3

二、证明是数学论证命题的唯一手段 8

2.1 ？2是个不能用分数表达的无理数 8

2.2 正多面体只有五种 10

2.3 素数的个数是无穷的 13

2.4 费马小定理的证明 17

三、数学的公理公设逻辑体系 20

四、公理演绎体系建立后的影响 26

4.1 欧几里得的逻辑演绎体系，对以后数学的发展产生了深远的影响 26

4.2 欧几里得的逻辑演绎体系，对其他学科的影响 27

五、数学是训练逻辑推理思维与开启创造创新思维的最好园地 31

5.1 毕达哥拉斯定理的几种证明方法 31

5.2 第五种证明方法及本书作者胡皆汉的拓展证法 35

5.3 我国汉代人对此定理的证明 37

5.4 我国清代数学家的证明方法 38

5.5 毕达哥拉斯定理的整数解 39

六、与时俱进的圆周率π的研究简史 43

6.1 π值的计算 43

6.2 计算π值的某些公式 45

七、三角基本公式的多种证明方法 50

7.1 单位圆证法 51

7.2 第二种证法 52

7.3 第三种证法 53

7.4 第四种证法 54

7.5 第五种证法 56

八、我国古代《孙子算经》中“大衍求一术”的拓思 57

8.1 问题的缘起 57

8.2 孙子的算法 58

8.3 本书作者胡皆汉对本类问题解法的一些拓展 58

九、调和级数发散性的四种不同证法 61

9.1 法国学者尼科尔·奥雷斯姆的证法 62

9.2 意大利数学家皮耶特罗·门戈利的证法 62

9.3 瑞士数学家约翰·伯努利的证法 64

9.4 本书作者胡皆汉的证法 67

十、几位天才人物年轻时的数学敏思 69

10.1 天才高斯年少时的数学才华 69

10.2 莱布尼茨的数学天才 71

10.3 欧拉非凡的数学天赋 75

10.4 天才牛顿的二项展开式 79

十一、层出不穷的数学分支 87

第二编 纵横图论 89

一、九宫图 91

1.1 历史简述 91

1.2 九宫图的求解方法 92

1.3 九宫图的一些性质 96

1.4 别开生面的问题 100

二、若干正边形阵图的探讨 105

2.1 三边阵图 105

2.2 五边阵图 106

2.3 六边阵图 107

2.4 八边阵图 108

三、四方阵 114

3.1 简单的历史简述 114

3.2 四方阵的求法 115

3.3 对称变换 116

3.4 四方阵的一般化 118

四、某些排列规律 119

4.1 矩形排列 119

4.2 方阵排列 122

五、五方阵 126

5.1 五方阵的一种构造法 126

5.2 隔一类五方阵 128

5.3 隔二类五方阵 130

5.4 隔三类五方阵 132

5.5 隔四类五方阵 133

5.6 隔五类五方阵 135

5.7 隔六类五方阵 136

5.8 隔七类五方阵 137

5.9 隔八类五方阵 138

5.10 隔九类五方阵 139

5.11 隔十类五方阵 140

5.12 隔十一类五方阵 140

5.13 有关五方阵的一点历史回顾 142

六、七至十九方阵的奇方阵 144

6.1 七方阵 144

6.2 九方阵 146

6.3 十一方阵 148

6.4 十三方阵 149

6.5 十五方阵 150

6.6 十七方阵 151

6.7 十九方阵 152

七、四至二十方阵的偶方阵 154

7.1 四方阵 154

7.2 六方阵 155

7.3 八方阵 156

7.4 十方阵 157

7.5 十二方阵 159

7.6 十四方阵 161

7.7 十六方阵 163

7.8 十八方阵 165

7.9 二十方阵 167

7.10 4n类方阵的简捷构造法 168

7.11 （4n＋2）类方阵的简捷构造法 172

7.12 奇方阵的简捷构造法 178

八、余论 184

8.1 纵横（方阵）图的几种拓展形式 184

8.2 杨辉百子图简评 187

第三编 方圆关系论 191

一、圆周长与圆面积 193

1.1 圆周长 193

1.2 圆面积 193

二、球的面积与球的体积 198

2.1 球的面积 198

2.2 球的体积 199

三、椭圆、椭圆体与圆锥的有关计算公式 204

四、方圆关系 205

4.1 本书作者胡皆汉提出的方圆相关原理 205

4.2 圆面积计算公式的导出 205

4.3 球面积、球体积计算公式的导出 206

4.4 椭圆面积、椭圆体体积计算公式的导出 206

4.5 圆锥与圆台体积计算公式的导出 207

五、正多边形与其内切圆的相关关系 209

六、追思怀古 212