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第1章 线性代数基础 1

1.1 从线性方程组谈起 1

1.2 线性空间、线性变换和矩阵 3

1.3 线性子空间基本概念 9

1.4 特殊的线性子空间 12

习题 14

第2章 矩阵的基本概念 16

2.1 矩阵的基本运算 16

2.2 矩阵的秩 19

2.3 矩阵的迹 22

2.4 矩阵的特征值和特征向量 22

2.5 正交矩阵和酉矩阵 27

2.5.1 Gram-Schmidt正交化方法 27

2.5.2 Givens变换 28

2.5.3 Householder变换 30

2.6 正规矩阵 32

2.7 正定矩阵与半正定矩阵 34

2.8 特殊的幂矩阵 37

习题 38

第3章 矩阵对角化 40

3.1 矩阵的相抵 40

3.2 矩阵的相似 41

3.3 矩阵的对角化 42

3.4 矩阵的正交相似对角化 44

3.5 Jordan标准形 49

3.5.1 Jordan标准形的存在定理 49

3.5.2 初等因子法求Jordan标准形 51

3.6 Hamilton-Cayley定理及其应用 56

习题 60

第4章 矩阵分解及应用 63

4.1 三角分解LU 63

4.2 矩阵的QR分解 66

4.3 满秩分解 72

4.4 奇异值分解 74

4.5 矩阵的极分解 78

4.6 矩阵的谱分解 80

4.7 扩展主题——广义逆矩阵 83

习题 88

第5章 范数理论及其应用 90

5.1 向量范数的定义 90

5.2 三个常用的不等式 91

5.3 常见的向量范数 93

5.4 向量范数的等价性 97

5.5 矩阵范数的定义 99

5.6 常见的矩阵范数 99

5.7 矩阵范数与向量范数之间的相容性 105

5.8 扩展主题1：矩阵的非奇异性条件 107

5.9 扩展主题2：特征值估计 109

习题 112

第6章 矩阵分析及应用 114

6.1 矩阵序列及其极限 114

6.2 矩阵级数 117

6.3 矩阵幂级数 119

6.4 矩阵函数 121

6.5 函数矩阵的微分 128

6.6 函数矩阵的积分 133

习题 134

第7章 矩阵论的高级主题 136

7.1 线性方程组求解的问题 136

7.2 非负矩阵简介 139

7.3 低秩矩阵近似 139

参考文献 145