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第1章 概率论基础 1

1.1 随机过程简介 1

1.1.1 问题的提出 1

1.1.2 简史 1

1.1.3 预备知识 1

1.2 补充知识 2

1.2.1 概率论简单回顾 2

1.2.2 随机事件 2

1.2.3 概率的公理化定义 2

1.2.4 概率的部分性质 3

1.2.5 条件概率 3

1.2.6 独立性 4

1.2.7 随机变量 5

1.2.8 多维随机变量及其分布 5

1.2.9 随机向量的独立性 6

1.2.10 数学期望 6

1.2.11 常用不等式 8

1.2.12 复随机变量，数字特征及其独立性 8

1.2.13 举例 8

1.3 特征函数 12

1.3.1 问题的提出 12

1.3.2 特征函数及其性质 12

1.4 多元正态分布及其性质 20

1.4.1 概念 21

1.4.2 基本性质 21

1.4.3 举例 26

1.5 随机变量函数的分布及条件数学期望 27

1.5.1 一元随机变量函数及其分布 27

1.5.2 多个随机变量的函数及其分布 28

1.5.3 条件数学期望 29

1.5.4 举例 31

习题一 32

第2章 随机过程基本概念 36

2.1 问题的提出 36

2.2 随机过程的基本概念、分布及其数字特征 37

2.2.1 随机过程的定义与分类 37

2.2.2 随机过程的有限维分布 38

2.2.3 随机过程的数字特征 38

2.2.4 举例 39

2.3 几种常见的随机过程 42

2.3.1 二阶矩过程 42

2.3.2 正态过程 43

2.3.3 正交增量过程 43

2.3.4 平稳独立增量过程 44

2.3.5 举例 45

2.4 维纳过程与泊松过程 46

2.4.1 Wiener（维纳）过程 46

2.4.2 Poisson（泊松）过程 49

2.4.3 举例 52

2.5 到达时间与点间间隔及其分布 55

2.5.1 到达时间与点间间隔 55

2.5.2 基本性质 55

2.5.3 举例 57

2.6 复合Poisson过程 60

2.6.1 概念 60

2.6.2 基本性质 61

2.6.3 举例 62

2.7 更新过程 63

2.7.1 补充知识 63

2.7.2 概念 64

2.7.3 基本性质 64

2.7.4 举例 64

习题二 65

第3章 随机分析 70

3.1 问题的提出 70

3.2 随机变量序列的均方极限与性质 71

3.2.1 二阶矩随机变量序列的均方极限 71

3.2.2 二阶矩随机变量序列的均方极限的性质 74

3.2.3 举例 76

3.3 二阶矩过程的均方极限 77

3.3.1 概念 77

3.3.2 基本性质 77

3.3.3 举例 77

3.4 二阶矩过程的均方连续 78

3.4.1 概念 78

3.4.2 均方连续准则 78

3.4.3 举例 79

3.5 二阶矩过程均方导数 80

3.5.1 概念 80

3.5.2 均方可导准则 80

3.5.3 均方导数性质 81

3.5.4 举例 82

3.6 均方积分 84

3.6.1 概念 84

3.6.2 均方可积准则 85

3.6.3 均方积分性质 85

3.6.4 XT在［a，b］上的变上限均方积分 87

3.6.5 举例 88

3.7 均方随机微分方程 89

3.7.1 n阶线性均方随机微分方程 89

3.7.2 一阶线性均方随机微分方程均方解及均值函数和相关函数 90

3.7.3 举例 91

3.8 正态过程的随机分析 92

3.8.1 基本性质 92

3.8.2 举例 95

3.9 随机分析在经济领域中的应用 95

3.9.1 资本和劳动力投入的动态随机过程 95

3.9.2 随机微分方程均方解的存在性和唯一性 96

3.9.3 实证分析 99

3.9.4 能源投入的动态经济系统随机过程模型 100

习题三 108

第4章 平稳过程 112

4.1 问题的提出 112

4.2 平稳过程的概念及相关函数的性质 113

4.2.1 概念 113

4.2.2 平稳过程相关函数的性质 114

4.2.3 联合平稳过程及互相关函数的性质 116

4.2.4 举例 117

4.3 平稳过程的功率谱密度 119

4.3.1 谱函数和谱密度 119

4.3.2 谱密度的物理意义 120

4.3.3 谱密度的性质 121

4.3.4 联合平稳过程的互谱密度及其性质 122

4.3.5 举例 124

4.4 线性系统中的平稳过程 125

4.4.1 线性时不变系统的概念 125

4.4.2 频率响应与脉冲响应的关系 125

4.4.3 线性时不变系统对随机输入的响应 126

4.4.4 线性时不变系统的输入与输出的互相关函数与互谱密度 128

4.4.5 举例 128

4.5 平稳过程的各态历经性 131

4.5.1 问题的提出 131

4.5.2 平稳过程的各态历经性的概念 131

4.5.3 均方连续平稳过程具有各态历经性的条件 132

4.5.4 平稳过程具有各态历经性的充分条件 135

4.5.5 举例 137

附录 相关函数与谱密度的付氏变换性质及计算公式 139

习题四 140

第5章 马尔可夫过程 143

5.1 问题的提出 143

5.2 马氏链及其性质 144

5.2.1 马氏过程 144

5.2.2 马氏链的转移概率及其性质 145

5.2.3 举例 147

5.3 马氏链的状态分类 150

5.3.1 状态类型及性质 150

5.3.2 状态分类 153

5.3.3 状态类型的判别方法 153

5.3.4 举例 156

5.4 状态间的关系 159

5.5 状态空间分解 160

5.5.1 概念 160

5.5.2 基本性质 161

5.5.3 举例 162

5.6 周期链分解 164

5.6.1 概念 164

5.6.2 基本性质 164

5.6.3 举例 166

5.7 极限分布与平稳分布 168

5.7.1 转移概率的极限 168

5.7.2 平稳分布 170

5.7.3 举例 172

习题五 175

习题参考思路及解答 180

参考文献 241