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第一章 度量空间 1

1.1 度量空间的定义与举例 1

1.2 度量空间的拓扑性质 4

1.3 度量空间中的极限与连续 7

1.4 度量空间的可分性 11

1.5 度量空间的完备性 14

1.6 度量空间中的紧集 19

1.7 度量空间中的全有界集 22

1.8 度量空间中的开覆盖 25

本章小结 27

习题1 27

第二章 线性赋范空间与内积空间 30

2.1 线性赋范空间的定义及性质 30

2.2 线性赋范空间的子集与商空间 33

2.3 线性赋范空间的同构与范数等价 36

2.4 线性赋范空间的维数与紧性 40

2.5 内积空间的定义 42

2.6 内积空间与线性赋范空间的关系 45

2.7 内积空间中的正交分解 48

2.8 内积空间中的正交系 51

2.9 傅立叶级数及其收敛性 54

2.10 Hilbert空间的同构 58

本章小结 59

习题2 60

第三章 线性算子 63

3.1 线性算子的定义及基本性质 63

3.2 线性算子的零空间 66

3.3 线性有界算子空间 68

3.4 对偶空间与Riesz表示定理 72

3.5 算子乘法与逆算子 75

3.6 Baire纲定理 77

3.7 开映射定理与逆算子定理 79

3.8 线性泛函的延拓定理 83

3.9 闭图像定理 89

3.10 一致有界定理 92

3.11 点列的弱极限 96

3.12 算子列的极限 100

本章小结 102

习题3 102

第四章 线性算子的谱分析 106

4.1 算子谱的概念 106

4.2 算子谱的基本性质及谱结构 108

4.3 谱映射定理及谱半径 112

4.4 伴随算子及其谱分析 115

4.5 自伴算子的谱分析 118

4.6 正规算子与酉算子的谱分析 121

4.7 投影算子的谱分析 124

4.8 紧算子的概念与性质 126

4.9 紧算子的谱分析 129

4.10 自伴紧算子的谱分析 131

本章小结 134

习题4 134

第五章 泛函分析应用选讲 138

5.1 Banach不动点定理 138

5.2 Banach不动点定理的应用 140

5.3 Hahn-Banach延拓定理的应用 144

5.4 线性流形 147

5.5 凸集与最佳逼近 149

5.6 超平面与闵可夫斯基泛函 153

5.7 分离性定理 155

本章小结 157

习题5 157

附录 基础知识 160

附录A集合与实数上的点集 160

附录B实数的完备性与函数的一致连续性 162

附录C可测集与可测函数 164

附录D勒贝格积分 168

参考文献 172

符号表 174

名词索引 176