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第1章 函数 1

第1节 预备知识 1

一、区间 1

二、绝对值和邻域 2

习题1-1 3

第2节 函数的概念与性质 4

一、函数的概念 4

二、函数的几种特性 7

习题1-2 9

第3节 初等函数 10

一、幂函数 指数函数 三角函数 10

二、对数函数和反三角函数 11

三、复合函数 初等函数 13

习题1-3 14

第4节 函数的参数方程 15

一、函数的参数表示 15

二、函数的极坐标表示 16

习题1-4 17

回顾与预习 18

第2章 极限与连续 19

第1节 函数的极限 19

一、自变量趋于有限值时函数的极限 19

二、自变量趋于无穷大时函数的极限 21

三、数列的极限 22

四、函数极限的性质 24

习题2-1 25

第2节 无穷小量与无穷大量 26

一、无穷小量 26

二、无穷大量 27

习题2-2 28

第3节 极限的运算法则 29

习题2-3 33

第4节 无穷小量的比较 34

习题2-4 35

第5节 函数的连续性与间断点 36

一、函数连续性的概念 36

二、函数的间断点 38

三、连续函数的运算与初等函数的连续性 39

四、闭区间上连续函数的性质 40

习题2-5 42

实验一 MATLAB的基本用法 42

一、MAT LAB软件简介 42

二、MATLAB的基本用法 43

三、用MATLAB绘制二维图形 46

四、极限的MATLAB实现 47

实验题1 49

回顾与预习 50

第3章 导数与微分 51

第1节 导数的概念 51

一、函数的变化率 51

二、导数的定义 53

三、导数的几何意义 56

四、函数的可导性与连续性的关系 56

习题3-1 57

第2节 函数的求导法则 58

一、导数的四则运算法则 58

二、反函数与复合函数的求导法则 60

三、隐函数的导数 64

四、由参数方程所确定的函数的导数 65

习题3-2 66

第3节 高阶导数 67

习题3-3 70

第4节 微分及其运算 70

一、微分的定义 70

二、微分的几何意义 72

三、基本初等函数的微分公式及微分的运算法则 72

四、微分应用举例 73

习题3-4 75

实验二 导数的MATLAB实现 76

一、导数的MATLAB实现 76

二、数值微分 78

实验题2 80

回顾与预习 80

第4章 微分中值定理与导数的应用 82

第1节 微分中值定理 82

一、罗尔定理 82

二、拉格朗日中值定理 83

三、柯西中值定理 84

习题4-1 85

第2节 洛必达法则 86

一、0/0与∞/∞型未定式 86

二、其他未定式 88

习题4-2 90

第3节 泰勒公式 90

一、泰勒公式 90

二、函数的泰勒展开式举例 92

习题4-3 93

第4节 函数的单调性与曲线的凹凸性 94

一、函数单调性的判别 94

二、曲线的凹凸性与拐点 95

三、函数图形的描绘 97

习题4-4 99

第5节 函数的极值与最大值最小值 100

一、函数的极值及其求法 100

二、函数的最大最小值问题 102

习题4-5 104

实验三 导数应用的MATLAB实现 105

一、MATLAB自定义函数 105

二、代数方程求解 105

三、泰勒多项式 109

四、最值 111

实验题3 112

回顾与预习 112

第5章 不定积分 114

第1节 不定积分的概念与性质 114

一、原函数与不定积分的概念 114

二、基本积分表 116

三、不定积分的基本性质 117

习题5-1 119

第2节 换元积分法 120

一、第一换元积分法（凑微分法） 120

二、第二换元积分法 124

习题5-2 128

第3节 分部积分法 129

习题5-3 132

第4节 有理函数的不定积分 132

一、有理函数的分解 132

二、有理函数的不定积分 134

三、可化为有理函数的不定积分 135

习题5-4 137

第5节 积分表的使用 137

习题5-5 139

回顾与预习 139

第6章 定积分 140

第1节 定积分的概念与性质 140

一、定积分的概念 140

二、定积分的性质 143

习题6-1 145

第2节 微积分基本公式 146

一、变上限积分及其导数 146

二、牛顿-莱布尼兹公式 147

习题6-2 149

第3节 定积分的计算方法 149

一、定积分的换元积分法 150

二、定积分的分部积分法 153

习题6-3 154

第4节 广义积分 155

一、无穷限的广义积分 155

二、无界函数的广义积分 157

习题6-4 159

回顾与预习 159

第7章 定积分的应用 160

第1节 定积分在几何中的应用 160

一、定积分的元素法 160

二、平面图形的面积 161

三、体积 163

四、平面曲线的弧长 165

习题7-1 166

第2节 定积分在物理学中的应用 167

一、变力沿直线所做的功 167

二、水压力 168

习题7-2 170

第3节 定积分在经济中的应用 170

一、已知边际函数求总量函数 170

二、已知总产量的变化率求总产量 171

三、其他应用 172

习题7-3 173

实验四 一元函数积分的MATLAB实现 174

一、一元函数积分的MATLAB实现 174

二、应用举例 174

三、数值积分 176

实验题4 178

回顾与预习 178

第8章 微分方程 179

第1节 微分方程的基本概念 179

习题8-1 182

第2节 一阶微分方程及其解法 182

一、可分离变量的微分方程 182

二、齐次方程 184

三、一阶线性微分方程 186

习题8-2 187

第3节 可降阶的高阶微分方程 188

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 188

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程 189

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程 190

习题8-3 191

第4节 二阶线性微分方程 192

一、二阶线性微分方程解的结构 192

二、二阶常系数齐次线性微分方程 193

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 195

习题8-4 197

实验五 微分方程求解的MATLAB实现 197

一、微分方程的求解命令 197

二、应用举例 198

实验题5 200

回顾与预习 201

第9章 向量与空间解析几何 202

第1节 空间直角坐标系与向量 202

一、空间直角坐标系 202

二、向量及其线性运算 203

三、向量的坐标表示 205

习题9-1 207

第2节 数量积与向量积 208

一、行列式简介 208

二、数量积（点积） 209

三、向量积（叉积） 210

习题9-2 212

第3节 平面与直线 212

一、平面及其方程 212

二、空间直线及其方程 214

习题9-3 217

第4节 曲面与空间曲线 217

一、曲面方程的概念 217

二、旋转曲面 218

三、柱面 219

四、二次曲面 220

五、空间曲线 221

习题9-4 222

实验六 MATLAB绘图 223

一、用MATLAB绘制三维图形 223

二、利用MATLAB判断空间直线的相关位置 224

三、利用MATLAB演示旋转曲面的形成过程 225

实验题6 226

回顾与预习 226

第10章 多元函数微分及其应用 228

第1节 多元函数的基本概念 228

一、区域 228

二、多元函数的概念 229

三、多元函数的极限与连续 230

习题10-1 233

第2节 偏导数与全微分 233

一、偏导数的定义及其计算法 233

二、高阶偏导数 235

三、全微分 236

习题10-2 239

第3节 多元复合函数与隐函数的偏导数 239

一、多元复合函数的偏导数 239

二、隐函数的求导公式 242

习题10-3 243

第4节 方向导数与梯度 244

一、方向导数 244

二、梯度 245

习题10-4 247

第5节 多元函数微分学的几何应用 247

一、一元向量值函数及其导数 247

二、空间曲线的切线与法平面 248

三、曲面的切平面与法线 249

习题10-5 251

第6节 多元函数的极值与条件极值 251

一、多元函数的极值及最大值、最小值 251

二、条件极值 254

习题10-6 255

实验七 多元函数微分的MATLAB实现 256

一、偏导数与全微分的MATLAB实现 256

二、多变量函数极值的MATLAB实现 258

三、应用举例 259

实验题7 261

回顾与预习 261

第11章 多元函数积分及其应用 262

第1节 二重积分的概念及计算 262

一、二重积分的概念与性质 262

二、二重积分的计算方法 265

习题11-1 271

第2节 二重积分的应用 273

一、曲面的面积 273

二、平面薄片的质心和转动惯量 275

习题11-2 277

第3节 三重积分 277

一、直角坐标系下的三重积分 277

二、柱面坐标系下的三重积分 280

三、利用球面坐标计算三重积分 281

习题11-3 282

第4节 曲线积分 283

一、对弧长的曲线积分 284

二、对坐标的曲线积分 286

三、格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 289

习题11-4 291

第5节 曲面积分 292

一、对面积的曲面积分 292

二、对坐标的曲面积分 294

习题11-5 297

实验八 二重积分的MATLAB实现 298

一、利用MATLAB求重积分 298

二、二重积分的数值求解 299

三、应用举例 299

实验题8 300

回顾与预习 300

第12章 无穷级数 302

第1节 常数项级数的概念与性质 302

一、常数项级数的概念 302

二、收敛级数的基本性质 304

习题12-1 306

第2节 正项级数 307

一、比较审敛法 308

二、比值审敛法 310

习题12-2 311

第3节 任意项级数 312

一、交错级数及其审敛法 312

二、绝对收敛与条件收敛 312

习题12-3 314

第4节 幂级数 314

一、幂级数的收敛半径 315

二、幂级数的性质 317

习题12-4 319

第5节 函数展开成幂级数 319

一、泰勒级数 319

二、函数展开为幂级数举例 320

习题12-5 322

第6节 傅里叶级数 323

一、三角级数 三角函数系的正交性 323

二、周期函数的傅里叶级数 324

习题12-6 328

实验九 无穷级数的MATLAB实现 329

一、级数求和的MATLAB实现 329

二、函数展开成幂级数的MATLAB实现 330

三、应用举例 330

实验题9 331

本章回顾 331