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第1章 基本概念 1

1.1微分方程的例子 1

习题1.1. 4

1.2基本概念 4

1.2.1常微分方程和偏微分方程 4

1.2.2解和通解 5

1.2.3积分曲线和积分曲线族 7

习题1.2. 8

第2章 一阶方程的初等积分法 10

2.1变量可分离方程 10

习题2.1. 14

2.2齐次方程 15

习题2.2. 20

2.3一阶线性方程 20

习题2.3. 25

2.4全微分方程 26

2.4.1全微分方程 26

2.4.2积分因子 30

习题2.4. 33

2.5一阶隐方程 34

2.5.1可解出y的方程 34

2.5.2不显含x的方程 38

习题2.5. 40

2.6应用举例 40

习题2.6. 45

第3章 一阶方程的一般理论 46

3.1微分方程及其解的几何解释 47

3.1.1方向场 47

3.1.2图像法 47

3.1.3欧拉折线 48

习题3.1. 50

3.2毕卡存在与唯一性定理 50

习题3.2. 59

3.3解的延拓 60

习题3.3. 65

3.4解对初值的连续性 66

习题3.4. 70

3.5解对初值的可微性 70

习题3.5. 75

3.6一阶隐方程的奇解 76

3.6.1一阶隐方程解的存在与唯一性定理 76

3.6.2 p-判别曲线法 78

3.6.3c-判别曲线法 79

习题3.6. 82

第4章 高阶微分方程 83

4.1高阶微分方程 83

4.1.1引论 83

4.1.2高阶微分方程的降阶法 86

习题4.1. 94

4.2高阶线性齐次微分方程 95

4.2.1线性齐次微分方程的一般理论 96

4.2.2常系数线性齐次微分方程的解法 103

4.2.3某些变系数线性齐次微分方程的解法 110

习题4.2. 114

4.3二阶线性齐次微分方程的幂级数解法 116

4.3.1引言 116

4.3.2常点邻域内的幂级数解 116

4.3.3正则奇点邻域内的广义幂级数解 119

4.3.4两个特殊方程 122

习题4.3. 127

4.4高阶线性非齐次微分方程 127

4.4.1线性非齐次微分方程的一般理论 127

4.4.2常系数线性非齐次微分方程的解法 131

习题4.4. 138

4.5应用举例 140

4.5.1弹簧振动问题 140

4.5.2电磁振荡问题 141

4.5.3弹簧振动的微分方程的求解 142

习题4.5. 147

第5章 微分方程组 148

5.1微分方程组的基本概念 148

5.1.1引言 148

5.1.2解的存在唯一性定理 155

5.1.3化为高阶方程法和可积组合法 157

习题5.1. 163

5.2线性齐次微分方程组 164

5.2.1线性齐次微分方程组的一般理论 165

5.2.2常系数线性齐次微分方程组的解法 172

习题5.2. 184

5.3一阶线性非齐次微分方程组 186

5.3.1线性非齐次微分方程组的一般理论 186

5.3.2常系数线性非齐次微分方程组的解法 189

习题5.3. 192

5.4应用举例 193

5.4.1捕食者与被捕食者的生态问题 193

5.4.2多回路的电路问题 196

习题5.4. 198

第6章 定性理论与稳定性理论初步 199

6.1定常系统 199

6.1.1动力系统、相空间与轨线 199

6.1.2定常系统轨线的类型 203

习题6.1. 206

6.2平面定常系统的奇点 207

6.2.1线性系统的奇点 207

6.2.2非线性系统的奇点 216

习题6.2. 218

6.3解的稳定性 219

6.3.1李雅普诺夫（Liapunov）稳定性的概念 219

6.3.2按线性近似法判别稳定性 221

6.3.3李雅普诺夫直接法 224

习题6.3. 227

6.4极限环 228

6.4.1极限环的概念 229

6.4.2极限环存在性的判别 231

习题6.4. 233

第7章 差分方程 234

7.1基本概念 234

习题7.1. 238

7.2一阶差分方程 238

7.2.1一阶线性差分方程 239

7.2.2一阶非线性差分方程 241

习题7.2. 242

7.3高阶线性差分方程的一般理论 243

7.3.1解的简单性质 243

7.3.2通解的结构 243

7.3.3阿贝尔（Abel）定理 247

习题7.3. 248

7.4二阶常系数线性差分方程的解法 249

7.4.1 Rn≡0的情形 249

7.4.2 Rn？0的情形 252

习题7.4. 259

附录A 常微分方程发展概要 260

附录B 答案与提示 266

参考文献 280