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第一章 预备知识 1

1.1 模与代数的概念 1

1.2 多重线性映射 4

1.3 n维数空间Rn 7

1.4 多元函数的微分 10

1.5 映射的可微性 16

1.6 Rn中的逆映射定理及秩定理 20

1.7 拓扑空间 23

习题一 33

第二章 微分流形 36

2.1 微分流形的基本概念 36

2.2 切空间与切映射 54

2.3 上切空间与拉回映射 69

2.4 子流形 75

2.5 切丛和切向量场 88

2.6 上切丛和余切向量场 101

习题二 108

第三章 张量场与外微分 110

3.1 张量空间Tp＊（M）？Tq＊（N） 110

3.2 流形Mn上p点的（r,s）型张量空间T？（M）p 113

3.3 对称和反对称协变张量 121

3.4 流形M上的张量场 133

3.5 流形M上的s阶外微分形式 144

3.6 外微分算子d 155

习题三 161

第四章 外形式的积分和Stokes定理 163

4.1 流形Mn上的单位分解 163

4.2 n维C∞流形M的定向与带边流形的定向 167

4.3 流形Mn上n形式ω的积分 171

习题四 179

第五章 线性联络与绝对微分 181

5.1 线性联络的定义及例子 181

5.2 线性联络的存在性及诱导联络 184

5.3 线性联络的挠率张量场和曲率张量场 188

5.4 线性联络？的结构方程 193

5.5 （r,s）型张量场T的协变微商？xT 196

5.6 （r,s）型张量场T的绝对微分DT 200

5.7 协变微商与绝对微分的内在关系 203

5.8 平行移动与测地线 208

5.9 结构方程的另一引进法 212

习题五 214

第六章 黎曼流形 215

6.1 Riemann度量g 215

6.2 Riemann联络 223

6.3 Riemann曲率张量场R 227

6.4 Riemann流形的结构方程 231

6.5 Riemann流形（M,g）上函数f的LapLacian△f 234

6.6 Riemann流形（M,g）的截面曲率 237

6.7 Riemann流形（M,g）的Ricci曲率和数量曲率 244

习题六 249

第七章 子流形 251

7.1 诱导联络和第二基本形式 251

7.2 Gauss方程Codazzi方程和Ricci方程 257

7.3 活动标架法 264

7.4 欧氏空间中子流形的运动方程 271

7.5 全脐子流形与具有平行平均曲率向量的子流形 280

习题七 292

第八章 极小子流形 294

8.1 欧氏空间Rn＋p中的极小子流形 294

8.2 球空间Sn＋p（1）中的极小子流形 299

8.3 球面内极小子流形的外在刚性 304

8.4 球面内极小子流形的内在刚性 306

习题八 315

第九章 等参超曲面 318

9.1 引言 318

9.2 Rn＋1中的平行超曲面 319

9.3 水平超曲面的几何 323

9.4 复双曲空间CHn中的等参超曲面 327

习题九 335