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第1章 集合论基础 1

1.1 集合的基础 1

1.2 集合的运算 3

1.3 映射 4

1.4 关系、次序关系、等价关系和分类 7

参考文献 11

第2章 群论基础 12

2.1 群的定义 12

2.2 子群和陪集 14

2.3 共轭与共轭类 16

2.4 不变子群与商群 18

2.5 同态与同构 19

2.6 同态的序列 21

2.7 直积群 22

2.8 自由群 23

参考文献 24

第3章 代数系和数系 25

3.1 代数系的概念 25

3.2 自然数及其性质 26

3.3 整数整域 27

3.4 域和有理数域 28

3.5 Cauchy数列和实数域 29

3.6 复数域和代数基本定理 30

3.7 超复数数系 31

3.8 四元数系Q（R） 32

3.9 八元数系Ω和十六元数系Γ 33

3.10 向量空间 35

3.11 域上的代数 36

3.12 例子：谐振子的能级 37

参考文献 38

第4章 向量空间的理论 40

4.1 向量空间中的一些基础理论 40

4.2 商空间 42

4.3 线性映射 43

4.4 对偶空间 44

4.5 不变子空间 46

4.6 Euclid空间 48

4.7 酉空间 49

4.8 模与模的一些基本理论 51

参考文献 51

第5章 群表示论概要 53

5.1 群表示的概念 53

5.2 可约表示和完全可约表示 55

5.3 酉表示 57

5.4 矩阵的张量积与张量积空间中的变换 57

5.5 群表示论中的一些重要定理 59

5.6 正则表示 66

5.7 量子力学和群论 68

参考文献 70

第6章 张量的概念 71

6.1 SO（2）群及其向量 71

6.2 SO（2）群的张量 73

6.3 SO（3）群的张量 74

6.4 惯性张量 76

6.5 O（3）群的张量 78

6.6 齐次Lorentz群L 80

6.7 齐次Lorentz群L的张量及其结构 82

6.8 电磁场张量及Maxwell方程 83

6.9 4维不变量 85

参考文献 87

第7章 线性群的张量 88

7.1 向量空间中基的变换和GL（n，K）群 88

7.2 协变向量 90

7.3 GL（n，K）群的张 92

7.4 线性张量的运算 94

7.5 张量分量的变换和张量的缩并 95

7.6 正交群的张量 97

7.7 张量代数J （V） 98

7.8 2阶反对称协变张量空间 98

7.9 协变张量的反称化 99

7.10 外积（反称积） 101

7.11 Λr（V）的构造 102

7.12 外代数 103

参考文献 104

第8章 O（3）群、SO（3）群和SU（2）群及其应用 105

8.1 道路连通性问题 105

8.2 SO（3）群的道路连通性 107

8.3 单连通的SU（2）群 108

8.4 SU（2）与SO（3）的2—1同态 109

8.5 四元数和有限转动的合成 112

8.6 SU（2）群和旋量 112

8.7 矩阵的指数函数及其性质 115

8.8 U（n）群及其Lie（李）代数 116

8.9 ？u （2）的几何意义 118

8.10 A1型Lie（李）代数 118

8.11 A1型代数的Bose子算符实现 119

8.12 Lie（李）代数及其表示的一般概念 120

8.13 A1型Lie（李）代数的有限维既约表示的完全系 122

8.14 表示ρj的权以及ρj？ρj′的约化 124

8.15 Clebsch-Gordan系数 126

8.16 既约张量算子 127

8.17 Wigner-Eckart定理和选择定则 127

8.18 SO（3）群的有限维既约表示的完全系 129

8.19 O（3）群的有限维既约表示的完全系 131

8.20 单电子原子多极矩跃迁的选择定则 132

参考文献 133

第9章 曲线坐标和张量分析 135

9.1 曲线坐标 135

9.2 曲线坐标下的基本度量形式 137

9.3 把张量的概念进一步扩展 138

9.4 曲线坐标下的向量和张量 141

9.5 曲线坐标系的基本方程 143

9.6 协变微分 145

9.7 梯度、散度和旋度作为协变导数 148

9.8 Newton方程在曲线坐标下的形式 152

9.9 仿射空间和Riemann空间 154

9.10 Minkowski几何 156

9.11 Riemann空间中的张量分析 159

9.12 Riemann曲率张量 162

9.13 Einstein场方程 164

9.14 短程线和力的几何化 166

参考文献 169

第10章 R3中的外微分形式及其应用 171

10.1 外微分形式和外积 171

10.2 向量代数与外积运算 173

10.3 外微分形式的外微分 173

10.4 外微分形式和向量场的微分运算 175

10.5 热力学中的Maxwell等式 176

10.6 Maxwell方程组的外微分形式 177

10.7 外微分形式的积分以及Stokes定理 178

10.8 Stokes定理、散度定理和Green定理 179

10.9 完全可积和Frobenius定理 182

10.10 闭形式和恰当形式及其应用 184

参考文献 186

第11章 拓扑空间 187

11.1 哥尼斯堡七桥问题 187

11.2 正多面体的Euler示性数 188

11.3 拓扑空间的引入 190

11.4 聚点、闭集和闭包 192

11.5 内点、外点和边界 193

11.6 邻域和邻域系 194

11.7 连续映射和同胚 195

11.8 特殊拓扑空间 196

11.9 拓扑空间的附加特性 199

参考文献 203

第12章 基本群 205

12.1 一个简单的例子 205

12.2 道路连通 206

12.3 闭道路和同伦 207

12.4 基本群 209

12.5 同伦映射和同伦型 211

12.6 Euclid单纯形、复形及三角剖分 214

12.7 基本群的计算定理 217

参考文献 218

第13章 高维同伦群和孤子 220

13.1 引言 220

13.2 高维同伦群的定义 221

13.3 相对同伦群 222

13.4 正合序列 223

13.5 拓扑不变量 224

参考文献 228

第14章 流形 230

14.1 流形的引入 230

14.2 流形的定义 232

14.3 可微映射 234

14.4 可微映射的秩以及浸入、浸没、嵌入和子流形 235

14.5 切向量和切向量空间 237

14.6 C∞映射的微分 240

14.7 协变向量 241

14.8 积流形 242

14.9 向量场及其对数量场的作用 243

14.10 向量场的交换子积 243

参考文献 244

第15章 外微分形式 246

15.1 切张量和张量场 246

15.2 反称积 248

15.3 外微分运算d 250

15.4 闭形式、恰当形式和Poincaré引理 251

15.5 映射f的推进f＊和拉回f＊ 252

15.6 向量场与微分形式的内积 254

15.7 Lie导数问题 255

15.8 向量空间V上的度规 259

15.9 度规向量空间上的和流形上的Hodge＊运算 260

15.10 余微分 264

15.11 向量值形式 266

参考文献 267

第16章 Lie（李）群和Lie（李）代数 269

16.1 Lie（李）群的定义 269

16.2 左不变向量场 270

16.3 Lie（李）群的Lie（李）代数 272

16.4 Lie（李）群和Lie（李）代数的同态 273

16.5 Lie（李）子群和Lie（李）子代数 274

16.6 单参数子群 274

16.7 指数映射 275

16.8 伴随表示 277

16.9 变换群 278

16.10 典型群 279

16.11 典型群的Lie（李）代数 281

16.12 Lie（李）群上的不变形式 283

16.13 通用覆盖群 284

16.14 爱尔兰根纲领 286

参考文献 286

第17章 纤维丛 288

17.1 引言 288

17.2 纤维丛 290

17.3 切丛和余切丛 294

17.4 张量丛 296

17.5 向量丛 298

17.6 主（纤维）丛 299

17.7 伴丛 300

参考文献 302

第18章 Hamilton力学的辛结构 304

18.1 位形空间、状态空间和相空间 304

18.2 辛形式和辛流形 305

18.3 Hamilton向量场和Hamilton正则方程 306

18.4 Lagrange力学 307

18.5 Poisson括号和辛变换 309

18.6 正则变换问题 311

18.7 H显含时间t时的切触流形 313

18.8 H显含时间t时的正则变换 314

18.9 H显含时间t时的Poisson括号 316

参考文献 316

第19章 Frobenius理论 318

19.1 引言 318

19.2 从微分几何角度看完全可积问题 320

19.3 流形上的全微分方程 322

19.4 对偶分布 323

19.5 有关流形上外代数的一些术语 324

19.6 Frobenius定理的微分形式表述 325

19.7 Frobenius定理在热力学中的应用和Carathédory的不可接近定理 327

19.8 极大积分流形 329

参考文献 329

第20章 同调群 331

20.1 无向单形和有向单形 331

20.2 单纯复合形和链 332

20.3 有关Abel群的一些理论 335

20.4 单纯复合形K的q维同调群 336

20.5 同调群的性质 338

20.6 同调群例 341

20.7 相对同调群 344

20.8 正合序列和Kunneth公式 345

20.9 奇异同调群 350

20.10 流形的剖分 352

参考文献 353

第21章 流形上的积分理论 355

21.1 Euclid空间Rn中的积分 355

21.2 向量空间的定向 357

21.3 流形的定向 358

21.4 诱导定向 359

21.5 Rn中的n次形式的积分 361

21.6 形式在链上的积分 362

21.7 定向流形上的积分 363

21.8 带边流形上的Stokes定理 368

21.9 微分形式作为多重线性映射观点下的积分 370

21.10 应用：力学中的不变积分 371

参考文献 371

第22章 De Rham上同调群 375

22.1 流形上的de Rham上同调群 375

22.2 de Rham上同调群的例子 377

22.3 有紧致支集的de Rham上同调群 381

22.4 de Rham定理 382

22.5 映射度和环绕数 385

22.6 Laplace-Beltrami算子的另一些性质 386

22.7 Hodge分解定理及其在上同调群理论中的应用 388

22.8 Poincaré对偶性 390

22.9 上积 392

22.10 参考文献 393

第23章 Gauss-Bonnet定理、流形上的向量场和数量场以及Morse理论 394

23.1 曲线和曲面上曲线的曲率、挠率和活动标架系 394

23.2 曲面的曲率 397

23.3 Gauss-Bonnet定理 398

23.4 从Gauss-Bonnet定理看闭曲面的Euler示性数 400

23.5 曲面的亏格和紧致曲面的分类 401

23.6 曲面上的向量场 404

23.7 奇点的指数以及Poincaré定理 405

23.8 Morse理论的一个例子 408

23.9 Morse不等式 409

参考文献 411

第24章 仿射联络空间和Riemann流形 412

24.1 引言 412

24.2 仿射联络 414

24.3 张量的协变微分 416

24.4 仿射联络的挠率与曲率 419

24.5 无挠率仿射联络空间L 0 n上的几何 420

24.6 Riemann度量 422

24.7 Riemann流形的基本定理 424

24.8 Riernann流形中的体积元 428

24.9 公理化方法 430

24.10 其他 435

参考文献 436

第25章 应用：电动力学 438

25.1 向量场的势和上同调理论 439

25.2 真空中Maxwell方程组的回顾 441

25.3 规范场Aμ 443

25.4 Minkowski流形及其上的电磁场张量 445

25.5 U（1）丛和主丛 448

25.6 主丛上的联络形式和曲率形式 451

25.7 U（1）丛上的联络与电磁场 454

25.8 A—B效应与微分几何 455

25.9 含自由磁荷和磁流的Maxwell方程组 457

25.10 从电荷守恒定律推出Maxwell方程组的数学形式 460

参考文献 462

附录 Young氏图形及其在对称群和典型群表示论中的应用 464

1 对称群Sn与它的分类结构 464

2 Sn的不可约表示 467

3 诱导表示与Sn单纯特征标的 Frobenius公式 469

4 Sn的不可约表示ρ[λ]的维数d[λ]与标准盘 471

5 Sn的单纯特征标与允许图形 472

6 Sn的分歧律 475

7 一般线性群GL（V）的张量表示及其约化 477

8 GL（m，C）不可约张量表示σ[λ]的维数mN[λ]与标准指数图形 479

9 GL（m，C）的分歧律 481

10 GL（m，C）的不可约特征标公式与不可约表示的维数公式 483

11 联系Sn的单纯特征标x[λ]（a）与GL（m，C）的不可约特征标φ[λ]（ε1，…，εm）的Frobe-nius经典公式 486

12 GL（m，C）不可约张量表示的张量积的算子约化法 487

13 Sn不可约表示的外积与相应的Young台的外积运算 491

14 群GL（m，R），SL（m，C），SL（m，R），U（m），SU（m）的表示 495

15 群O（m）的表示 499

16 群Sp （m，C）的表示 504

参考文献 505

编辑手记 508