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第一章 概论 1

1.1引言 1

1.2几何与物理中的一些方程的导出 3

1.3方程中的一些不变特征 5

几个重要李群 7

模型方程的守恒律与一些不变性质 10

1.4问题及方法 15

Cauchy问题的适定性 16

两个常用的研究方法 17

第二章 分析基础 20

2.1 Lp空间及其插值空间 20

Lp空间 20

Fourier变换 23

插值理论 24

2.2最大函数及其应用 28

最大平均函数 28

分数次积分 31

2.3局部化方法与不确定性原理 34

局部化方法 34

不确定性原理 35

Littlewood-Paley分解 37

2.4稳定位相法 41

2.5Sobolev空间 43

Sobolev不等式 44

Klainerman-Sobolev不等式 48

Sobolev空间的L-P分解刻画 52

2.6Poincare不等式 53

2.7非线性估计 56

Gagliardo-Nirenberg不等式 56

Leibniz法则 61

Moser型估计 62

2.8Fourier限制理论 64

Stein-Thomas定理 64

解析插值证明 68

演化算子方法证明 72

双线性形式证明（n=2和n=3） 74

第三章 线性波动方程 78

3.1线性波动方程的经典解 78

3.2线性波动方程的弱解 85

3.3能量不等式 87

3.4线性波动方程解的存在与唯一性 90

3.5L∞衰减估计 95

3.6波动方程的Strichartz估计 99

单频Strichartz估计 100

波动方程的Strichartz估计 105

球面对称情形的Strichartz估计 117

其他的LpLq混合范数估计 119

3.7齐次波动方程的双线性时空估计 126

一些记号与说明 128

椭球面与双曲球面上的积分 130

定理条件的必要性分析 133

3.8波Sobolev空间及其估计 142

第四章 非线性波动方程局部解 147

4.1半线性波动方程的局部解 147

4.2拟线性方程的局部解 151

4.3三维半线性方程的局部解 157

4.4具零形式的方程的局部解 161

第五章 经典解的破裂与奇性的形成 169

5.1半线性方程解的破裂 169

5.2形如utt=C2（ux）uxx方程的破裂 176

5.3n=3时utt=c2（ut）△u的径向解的破裂 178

5.4n=3时□υ=2υtυtt的解的破裂 181

第六章 具小振幅初值的非线性波动方程 185

6.1非线性波动方程的小振幅解 186

高维拟线性波动方程的整体解 186

零条件和三维波动方程的整体解 191

零条件和二维波动方程的整体解 200

6.2具小初值的非线性Klein-Gordon方程 212

经典的能量方法 213

Klainerman的不变向量场方法 214

Shatah的法形式方法 218

6.3具小初值的半线性波动方程 225

6.4半线性波动方程的低正则初值解 231

低正则解的存在性 232

在球面对称下改进的结果 239

第七章 大振幅初值的半线性波动方程的整体解 242

7.1具Lipschitz非线性的波动方程 242

7.2半线性波动方程的有限能量弱解 243

7.3R1+3中半线性波动方程的经典整体解 245

主要结果 246

能量估计和次临界情形 249

衰减引理和临界情形 252

7.4非线性波动方程的低正则解 258

参考文献 264